Euler’in Çokyüzlü Formülü

Bu yazıda matematiğin en bilinen teoremlerinden biri olan Euler’in çokyüzlü formülü \( V – E + F = 2 \) hakkında konuşacağız. Matematiğin birçok alanında karşınıza çıkabilecek bu formülü Euler’in asıl makalesine sadık kalarak anlatacağız.

[BAA - Matematik/ Oğuz Şavk]

Königsberg’in Yedi Köprüsü problemini ve çözümünü tartıştığımız bir önceki yazımızda Euler’in nerede doğduğundan, kimlerle ve nerelerde çalıştığından bahsetmiştik. Onları bir daha tekrar etmek yerine başka konulara değinelim.

Olağanüstü üretken bir matematikçi olan Euler’in yaşamı boyunca yaklaşık 550 kitap ve makalesi yayınlanır. Tüm bilimsel eserleri 850 civarındadır. 1909'da İsviçre Doğa Bilimleri Akademisi, Euler’in çeşitli ülkelerde ortaya koyduğu bütün çalışmalarını topladığı eserlerin yayınlanmasını üstlenir. Ancak 1975 yılında tamamlanabilen baskı 72 ciltten oluşuyor. Sovyetler Birliği Bilimler Akademisi de 1963 yılında bilimsel açıdan oldukça kıymetli, yaklaşık 3.000 mektuptan oluşan Euler'in yazışmalarını yayınlar.

Euler bu eşsiz üretkenliğini birçok bilim dalında gerçekleştirir. Zamanının matematiğinin tüm dallarına ek olarak çalışmaları, mekanik, matematiksel fizik, optik, esneklik kuramı, müzik kuramı, balistik ve deniz bilimi konularını içerir. Bu bağlamda Euler'in eserlerinin yaklaşık beşte üçü matematiğe, kalan beşte ikisi ise matematiğin uygulamalarına aittir.

Çokyüzlü Nedir?

Euler’in çokyüzlü formülünü ortaya koymadan önce çokyüzlü kavramını tanımakla başlayalım. Geometrik bir nesne olan çokyüzlü bütün yüzleri düzlemsel çokgenlerle sınırlanmış kapalı ve deliksiz bir katı cisimdir. Mesela küp (altıyüzlü) Şekil 1’de görüldüğü üzere altı tane kare ile sınırlanmış bir katı cisimdir. Küp 8 köşe, 12 kenar ve 6 yüzden oluşur.

Euler’in Makalesinin Kavramları

Meydana getirdiği engin külliyat ile matematiğin formelleşmesinde öncü bir rol oynayan Euler’in makaleleri günümüz matematik makalelerine nazaran çok sadedir. Euler okuyucuyla adeta konuşur. Birazdan ne anlama geldiğini berraklaştıracağımız formül, Euler tarafından 1752’de, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae isimli dergide yayımlanan  Elementa doctrinae solidorum (Katı cisimlerin doktrininin ögeleri) başlıklı Latince makalede ortaya konulur.

Altmış beş maddeden oluşan makalenin ilk altısında Euler, konuya bir giriş yapar ve katı cisimler geometrisinin düzlem geometrisiyle ilişkisini açıklar. Şekil 2’de göreceğiniz gibi yedinci maddede formülün yapı taşlarını oluşturacak kavramları sunar. Bunlar:

• Anguli solidi (katı cisim açısı): Makaledeki niceliksel gösterimi S. Günümüzde V (İngilizce vertex sözcüğünün ilk harfi) ile gösteriyoruz.
• Acies (kenar): Makaledeki niceliksel gösterimi A. Günümüzde E (İngilizce edge sözcüğünün ilk harfi) ile gösteriyoruz.
• Hedrae (yüz): Makaledeki niceliksel gösterimi H. Günümüzde F (İngilizce face sözcüğünün ilk harfi) ile gösteriyoruz.

Euler bunlara ek olarak iki nicelik daha tanımlıyor. Bu niceliklerden ilki olan anguli planius (düzlem açısı), verilen bir çokyüzlünün yüzlerini oluşturan çokgenlerin düzlem açılarının sayısını ölçer. Örneğin, bir kare dört düzlem açısından oluşur. Sekiz köşeden meydana gelen bir küpün her köşesinde üç kare bir araya geldiği için toplam yirmi dört düzlem açısı vardır. İkinci tanımlanan nicelik ise laternum (çokgen kenarı) olarak tanımlanır. Yine küp örneğine dönecek olursak, bir küp altı tane kare yüze sahiptir. Her bir kare dört kenardan oluştuğu için küpün çokgen kenarı sayısı yirmi dört olur. Euler, bu nicelikler için değişken kullanmasa da biz sırasıyla, Latince baş harflerini referans alarak, \(P \) ve \(L \) ile gösterebiliriz. Küp için bu iki niceliğin birbirine eşit olduğunu gördük. Euler, Madde 8’de başka bir örnek ile sunduğu bu gözlemi, Önerme 1’de her çokyüzlü için kanıtlıyor, yani Öneme 1: \(P = L\).

Tüm kenar uzunlukları ve açıları birbiriyle eş olan çokgenleri düzgün çokgen olarak adlandırıyoruz. Örneğin, kare, düzgün beşgen ve düzgün altıgen. Benzer şekilde düzgün çokyüzlü bütün yüzleri bir tür düzlemsel düzgün çokgenlerle sınırlanmış bir katı cisimdir. Euler dokuzuncu maddede (Şekil 3) günümüzde Platonik cisimler olarak bilinen beş düzgün çokyüzlüden bahsediyor. Dilimizde tetraedri dörtyüzlüye, hexaedri altıyüzlüye (küp), octaedri sekizyüzlüye, dodecaedri onikiyüzlüye ve son olarak icosaedri yirmiyüzlüye karşılık gelir.

Madde 11 ve 12’de çokyüzlüleri nasıl sınıflandıracağımıza öneriler sunan Euler, bu çok yüzlülerin yanı sıra üçgen piramit, üçgen prizma ve paralelyüzlü katı cisimlerinden bahsediyor. Sonraki maddelerde konuya dair genel tartışmalarını sürdüren Euler, Madde 21’de (Şekil 4) makalesinin Önerme 1’ini ortaya koyuyor:

Proposition 1. In any solid, the number of edges is half of the number of plane angles which are located in the corners of the faces.

Önerme 1. Herhangi bir katı cisimde, kenarların sayısı, yüzlerin köşelerinde bulunan düzlem açılarının sayısının yarısıdır.

Matematiksel dilde Önerme 1 şu hali alıyor: \(E = P/2 \). Küp örneğine dönecek olursak, \(12=24/2 \). Madde 23’te Önerme 1’den çıkarılabilecek Sonuç 2’yi görüyoruz:

Corollary 2. If all faces around any solid are made from triangles, their (total) number is necessarily even.

Sonuç 2. Herhangi bir katı cismin etrafındaki tüm yüzler üçgenlerden oluşuyorsa, bunların (toplam) sayıları mutlaka çifttir.

Madde 23, 24 ve 25’te Önerme 1’in diğer sonuçları ifade ediliyor. Bunu takiben Madde 26’da Önerme 2’yi görüyoruz:

Proposition 2. The number of all the plane angles is either equal to or greater than thrice (three times) the number that is the sum of all the faces. The number of plane angles can never possibly be less than triple the number of faces around any solid.

Önerme 2. Tüm düzlem açılarının sayısı, ya tüm yüzlerin toplamının sayısının üç katına eşittir ya da ondan daha büyüktür. Düzlem açılarının sayısı hiçbir zaman bir katı cisim etrafındaki yüz sayısının üç katından daha az olamaz.

Matematiksel dilde Önerme 2’yi şöyle ifade edebiliriz: Ya \(P =3F \) ya da \(P > 3F \). Asla \(P < 3F \) olamaz. Bu önermenin ardından Madde 27’de Sonuç 1’i (Şekil 7) görüyoruz:

Corollary 1. Therefore, if all faces are triangles, the number of plane angles is equal to triple the number of faces.

Sonuç 1. Bu nedenle, tüm yüzler üçgen ise, düzlem açılarının sayısı yüzlerin sayısını üç katına eşittir.

Sonuç 1’i, yine Önerme 2’den türetilebilecek daha teknik bir ifadeye sahip Sonuç 2 (Şekil 8) takip ediyor:

Corollary 2. Therefore, in any solid, if the number of faces is set equal to \(F \), and the number of edges equals \(E \), because the number of plane angles equals \(2E \), it is either [the case that] \(2E=3F \) or \(2E>3F \). While therefore it is impossible that \(2E<3F \).

Sonuç 2. Bu nedenle, herhangi katı cisimde, yüzlerin sayısı \(F \)'ye ve kenarların sayısı \(E \)'ye eşitse, düzlem açılarının sayısı \(2E \)'ye eşit olduğu için, ya \(2E=3F \) ya da \(2E>3F \) olur. Bu nedenle \(2E<3F \) olması imkansızdır.

Madde 29’da Önerme 2’nin diğer bir çıktısı olan Sonuç 3’u ifade eden Euler, Madde 30’da Önerme 3’ü sunuyor. Matematiksel dilde Önerme 3’ü şu şekilde ifade edebiliriz: \(P=3V \)’dir ya da \(P>3V \) ’dir. Asla \(P<3V \) olamaz.

Madde 31 ve 32’de Önerme 3’ün sonuçlarını görüyoruz: \(2E=3V \)’dir ya da \(2E>3V \)’dir. Asla \(2E<3V \) olamaz.

Euler’in Çokyüzlü Formülü: \(S -A +H=2 \) ya da \(V-E+F=2 \)

Bu da bizi Madde 33’te Önerme 4 olarak ifade edilen Euler’in çokyüzlü formülüne getiriyor:

Proposition 4. In any solid enclosed by planes, the sum of the number of solid angles is the number of faces exceeds the number of edges by \(2 \).

Önerme 4. Düzlemlerle çevrelenmiş herhangi bir katı cisim içinde, katı cismin açıların sayısı ile yüzlerin sayısının toplamı yüzlerin sayısından \(2 \) fazladır.

Güncel matematiksel gösterim ile önermemiz \(V+F=E+2 \) halini alıyor. Euler, bu teoremin kesin bir kanıtı olmadığını hemen itiraf ediyor. Ancak Euler, bu formülü piramitler, kamalar (wedges), prizmalar ve kubbe benzeri katı cisimler için geçerli olduğunu kanıtlar. Bu katı cisimler şöyle tarif edilebilir (şekil 10):

• Piramitler, köşeleri tek bir noktaya bağlanmış bir n-gen tabana sahiptir.
• Kamalar, bir çizgi parçasının iki uç noktasından birine bağlı köşelere sahip bir n-gen tabana sahiptir.
• Prizmalar, başka bir n-genin köşelerine bağlı köşeleri olan bir n-gen tabana sahiptir.
• Kubbe benzeri katı cisimler, bir m-genin köşelerine bağlanmış köşelere sahip bir n-gen tabana sahiptir.

Euler Önerme 4’ü Platonik cisimler için kanıtlayarak tamamlar. Devamında Önerme 4’ün mantıksal denkleri olan Sonuç 1, Sonuç 2 ve Sonuç 3’ü yazar.

Modern gösterimde yazacak olursak bu sonuçlar kısaca aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

Sonuç 1. \( E = F + V - 2 \)

Sonuç 2. \( F = E - V + 2 \)

Sonuç 3. \( V = E - F + 2 \)

Hızlıca fark edilebileceği gibi bu üç sonuç Önerme 4’ün değişik şekilde ifade edilişi. Mantıksal olarak birbirine denk olan bu ifadeleri, Euler’in bu biçimde yazmasının arkasındaki iki önemli neden şunlar olabilir. Birincisi formülün önemini vurgulamak. İkincisi ise herhangi iki niceliği biliyorsak üçüncüsünü bulabileceğimizi belirginleştirmek.

Madde 59’a kadar çeşitli önermeleri ve sonuçları ortaya koyan Euler, Madde 59’da (Şekil 12) büyük problemi ortaya koyuyor: Tüm katı cisimleri sınıflandırmak. Diğer maddelerde bunun nasıl yapılabileceğini örneklerden üzerinden tartışıyor ve problemin kimi sonuçlarını listeliyor.

Euler bir yıl sonra yayınladığı makalede problemin ikna edici bir çözümünü dışbükey çokyüzlüler için sunar. Ancak bu çözümü, Euler’in çokyüzlü formülünün kanıtını ve Descartes’in bu formüle dair ön çalışmalarını bir sonraki yazıya bırakalım. Yazıyı noktalandırmadan önce Euler’in çokyüzlü formülünün Şekil 13’teki Platonik cisimlerde nasıl çalıştığını görelim.

Dörtyüzlü için \( V = 4 \), \( E = 6 \) ve \( F = 4 \), dolayısıyla \( V - E + F= 2 \). Küp için bu nicelikleri tespit etmiştik, sağlandığını hızlıca görebilirsiniz. Sekizyüzlüde \(  6 \) köşe, \(  12 \) kenar ve \( 8 \) yüz var, demek ki \( V - E + F = 2 \). Diğer iki çokyüzlü için de Euler’in çokyüzlü formülünün sağlandığını görmek okuyucuya ödev olsun. Ben bununla yetinmem diyen okuyucuya biraz daha zor bir ödev verelim: Euler’in çokyüzlü formülünü kullanarak, Platonik cisimlerden başka bir düzgün dışbükey çokyüzlü bulunamayacağını kanıtlayın.

Not Latinceden İngilizceye çeviriler E. Sandfier ve L. Stemkoski’ye aittir.

Kaynaklar

Aleksandov, P. S. – Leonhard Euler, Great Soviet Encyclopedia, Macmillan Publishers, Third Edition, 1979.

Cromwell, P. R. - Polyhedra, Cambridge University Press, 1997.

Euler, L. - Elementa doctrinae solidorum, Novi Commentarii Academiae Acientiarum Petropolitanae 4 (1752/3) 1758, p. 109-140, reprinted in Opera Omnia, Series I, Vol. 26, p. 71-93.

Sandfier, E. – How Euler Did It, V, E and F, Part 1, Mathematics Association of America, 2006.

Sandfier, E. – How Euler Did It, V, E and F, Part 2, Mathematics Association of America, 2006.

Stemkoski, L. - Investigating Euler's Polyhedral Formula Using Original Sources, Convergence, 2010.

Görüş ve önerileriniz için: oguz.savk@boun.edu.tr