Teorik Matematiği Modern Fizikle Bütünleştiren Bir Bilim İnsanı: M. F. Atiyah

20. yüzyılın ikinci yarısının en büyük matematikçilerinden biri olan Michael Francis Atiyah, 11 Ocak 2019'da, 89 yaşında aramızdan ayrıldı.

[BAA - Matematik/ Bahadır Batur]

“Her zaman şeylerin nasıl çalıştığını anlamak istedim. Bir formülün ne anlama geldiğini anlamadan görmek ilgimi çekmedi. Her zaman manzaranın arkasındaki kazmaya uğraştım, dolayısıyla eğer elimde bir formül varsa neden orada olduğunu anladım. Ve anlamak çok zorlu bir kavram.” Michael Atiyah

Lübnanlı Edward Selim Atiyah (1903-1964) ve İskoç Jean Levens’ın oğlu Michael Francis Atiyah 22 Nisan 1929’da İngiltere’de doğar. Londra’da dünyaya gelen Atiyah’ın çocukluğu Sudan’ın başkenti Hartum’da geçer. 1941’de ilkokul eğitimini tamamladıktan sonra ailesiyle beraber İngiltere’ye giderler.

Fransa tarafından kontrol edilen Lübnan, Nazi Almanyası’nın Fransa’yı işgali sonrasında Nazi Almanyası’nın kukla hükümeti olan Vichy’lerin kontrolüne geçmiştir. İngiltere’den Lübnan’a dönen Atiyah ailesi, Paris’in işgali sonrasında Haziran 1940’ta kurulan Özgür Fransa Birlikleri’nin Lübnan’ın kontrolü için başlattıkları mücadele dolayısıyla Mısır’a geçerler. Kahire’de Victoria Koleji’nde eğitimine başlayan Atiyah, biyografisinde anlattığına göre, sınıfında kendisinden büyük çocukların ödevlerini yardımcı olması karşısında okul içerisindeki zorbalıktan korunabilmiştir. Çocukluğundan beri matematikle ilgilenen Atiyah, Kahire’deki eğitimi sırasında kimyayı da ilgi çekici bulmasına rağmen matematik eğitimi almaya karar verir.

II. Dünya Savaşı’nın sona ermesinin ardından, baba Edward Atiyah kalıcı olarak İngiltere’ye dönmeye karar verir. İngiltere’nin matematik alanında en iyi okullarından biri olan Manchester Gramer Okulu’nda eğitime devam eden Atiyah, bu dönemde geometriyle ilgilenmeye başlar. 1947’de Cambridge Üniversitesi’ne bağlı Trinity Koleji’nin sınavlarını kazanan Atiyah, okula doğrudan başlamak yerine -o dönemlerde zorunlu olan- iki yıllık zorunlu hizmetini gerçekleştirmeye karar verir. İki yıl boyunca büro memuru olarak çalışan Atiyah, bu sırada G.H. Hardy ve E.M. Wright’ın "Sayıların kuramına bir giriş" (An Introduction to the Theory of Numbers) kitabını okuyup grup teori çalışır. 1949’da Trinity Koleji’nde eğitimine başlayıp 1952 yılında lisans derecesini alır.

Lisans eğitimi sırasında ilk makalesi olan "Bir burulmuş kübiğin teğetleri üstüne bir not" (A note on the tangents of a twisted cubic)’u 1952’de yayınlanır. Yine Trinity Koleji’nde, William W.D. Hodge’un danışmanlığında "Cebirsel Geometrideki Topolojik Yöntemlerin Bazı Uygulamaları" (Some Applications of Topological Methods in Algebraic Geometry) ismili teziyle doktora derecesini alır. 1955’te Lily Brown ile evlenen Michael Atiyah’ın üç çocuğu olur.

1956’da Cambridge Üniversitesi’ne dönen Atiyah, 1963-1969 yılları arasında Oxford Üniversitesi’nde çalışır. 1969’da Princeton’daki İleri Çalışmalar Enstitüsü’ne (Institute for Advanced Study in Princeton - IAS) matematik profesörü olarak atanır. Princeton’da üç yıl geçirdikten sonra, 1972’de İngiliz Kraliyet Bilimler Akademisi’nde (Royal Society) Araştırma Profesörü olarak Oxford’a geri döner. 1990 senesinde ise Cambridge Isaac Newton Matematik Bilimleri Enstitüsü’nde idareciliğini üstlenir. Kraliyet Akademisi’nin 1990-1995 yılları arasında başkanlığını yapan Atiyah, 1997’den ölümüne kadar Edinburgh Üniversitesi’nde onursal profesör olarak görev alır.

Matematiğe ve Fiziğe Katkıları

Atiyah, hayatı boyunca birçok matematikçi ile çalışmalar yapmış, bu özelliği dolayısıyla evrensel bir matematikçi olarak görülmüştür. Lakin kendisini tanımlayan en önemli üç çalışması, IAS’te tanıştığı matematikçilerle olanlardır. Bir döneme damgasını vuran matematiksel üretimlerinin en başlıcaları şu şekildedir: Friedrich Hirzebruch ile topolojik K-teori, Isadore M. Singer ile Atiyah-Singer indeks teoremi ve Raoul Bott ile Atiyah-Bott sabit nokta teoremi.

Hirzebruch ile yaptığı çalışmalar sayesinde, cebirsel topolojinin en önemli araçlarından biri olan topolojik K-teorinin temellerini atar. Bu teori, Alexander Grothendieck tarafından ortaya konulan K-teorinin bir genellemesidir. Topolojik K-teori, tıkız^[1] ve Hausdorff^[2] özelliklerine sahip topolojik uzayların^[3] vektör demetlerini^[4] çalışmak için ileri sürülen kohomoloji^[5] teorisidir. Bu teorinin en bilinen uygulamalarından biri Hopf değişmezi üzerinedir. Topolojik K-teori yöntemleriyle, ilk olarak Frank Adams, onu takiben de Atiyah tarafından, n-boyutlu kürenin (2n-1). homotopi grubundan^[6] tam sayılara  tanımlanan dönüşüm olan Hopf değişmezinin, grup homomorfizması^[7] verdiğini gösterirler.

En çok bilinen çalışması olan Atiyah-Singer indeks teoremini Isadore M. Singer ile 1963’te kanıtlar. Bu teorem, bir pürüzsüz^[8] tıkız manifold^[9] üzerinde verilen eliptik diferansiyel operatörün analitik indeksinin (diferansiyel denklemin çözümlerinin uzayının boyutu ile belirlenir) topolojik indeksine (manifoldun temel homoloji sınıfına dair kohomoloji ile belirlenen özel bir değerdir) eşit olduğunu söyler ve modern fiziğe şu şekilde uygulanır. Fizik bilimi hareket fenomenini açıklamaya çalışırken matematiksel bir modelleme olan diferansiyel denklemi kullanır. Diferansiyel denklemin çözümlerinin uzayı ile ilgilenmeye başladığınızda Atiyah-Singer indeks teoremi devreye girer. Anlamayı umduğunuz, doğrusal olmayan diferansiyel denklemi doğrusallaştırarak, doğrusal bir diferansiyel denklem elde edebilirsiniz. Her doğrusal denklem sistemini bir matris (aynı zamanda çözümlerin uzayından kendisine bir operatör) olarak görebilirsiniz, dolayısıyla indeks, matrisin çekirdeğinin boyutu ile matrisin kofaktör matrisinin devriğinin çekirdeğinin boyutunun arasındaki farkı temsil eden sayıdır. Atiyah-Singer indeks teoremini kullanarak bu sayıyı hesaplayabilirsiniz. Eğer çözümlerinizin uzayı bir pürüzsüz tıkız manifoldsa, hesaplayacağınız boyut, manifoldun teğet uzayının^[10] boyutudur ve teorem boyutun, sadece manifoldun topolojisine bağlı olduğunu söyler. Atom altı parçacıkların fiziksel modellerini resmetmek için kullanılan kuantum alan teorisinin instanton, soliton gibi fenomenlerini bu yöntemle daha iyi kavrayabilirsiniz. Daha temel bir kavrayış için, örnek olarak, uzay-zamandaki (3+1) Dirac operatörünü ele alabilirsiniz.

1967 ve 1968’de Raul Bott ile yayımladıkları iki makale ile Atiyah-Bott sabit nokta teoremini ortaya koyarlar. Bu teorem, pürüzsüz tıkız manifoldlar için Lefschetz sabit nokta teoreminin bir genellemesidir. Bu teoremin en ünlü uygulamalarından biri, temsiller kuramının temel taşlarından biri olan Weyl karakter formülünün kanıtının basit bir şekilde yeniden verilmesidir.

Atiyah’ın çalıştığı diğer alanlar ise kuantum alan teorisi, süper sicim teorisi, ayar teorisi (özellikle Yang-Mills teorisi), cebirsel geometri, K-teori ve indeks teorisidir.

Atiyah ve Riemann Hipotezi

En çok etkilendiği matematikçilerin Hermann Weyl, Bernhard Riemann ve William Rowan Hamilton olduğunu söyleyen Atiyah, 2018 Heidelberg Laureate Forumu’nda Milenyum Problemleri’nden birisi olan Riemann Hipotezi’nin basit bir kanıtını gerçekleştirdiğini iddia eder. Konuşması sırasında “Riemann Hipotezi’ni çözersen ünlü olursun. Eğer ünlü isen rezil olursun.” demiş, “Kimse Riemann Hipotezi’nin herhangi bir kanıtına inanmaz çünkü çok zor. Kimse henüz kanıtlayamadı, neden şimdi birileri kanıtlamalı? Tabii ki tamamen yeni bir fikrin varsa o başka.” diye de ekler. Kendisi matematikçileri bir miktar şüphecilikle suçlasa da, kanıtı ise karşı söylemlere dayanamaz.

Kazandığı Ödüller ve Öğrencileri

Fizik ve matematik alanlarında yaptığı -özellikle iki alanı birbiriyle bütünleştiren- çalışmaları dolayısıyla Isaac Newton’un izinden gittiği söylenmiş, hatta Isaac Newton’dan beri Britanya’nın en büyük matematikçisi olarak nitelendirilmiştir. 1966’da Moskova’daki Uluslarası Matematik Kongresi’nde Paul Cohen, Alexander Grothendieck ve Stephen Smale ile birlikte Fields Madalyası kazanır. Ödülü kazanma nedeni K-teorideki çalışmalarıdır. 2004 yılında ise çalışma arkadaşı Isadore Singer ile birlikte Abel Ödülü’ne layık görülmüştür. Daha birçok büyük ödülü bulunan Atiyah’a 1983 yılında şövalyelik unvanı verilir.

Simon Donaldson, K. David Elworthy, Nigel Hitchin, Lisa Jeffrey, Frances Kirwan, Peter Kronheimer, Ruth Lawrance, George Lusztig, Ian R. Porteus, Graeme Segal, David O. Tall, Edward Witten ve daha nice bilim insanını yetiştiren Atiyah’tan en çok etkilenen matematikçiler ise Roger Penrose, Lars Hörmander, Alain Connes ve Jean-Michel Bismut’tur. Hayatının sonuna kadar genç matematikçileri etkilemeye, hayran bırakmaya devam etmiştir.

Atiyah’ın matematikten sonra yapmaktan en çok hoşlandığı şeyler özellikle İskoç dağlarına tırmanmak, bahçe düzenlemek, tarih kitapları okuyup klasik müzik dinlemektir. 20. yüzyılın ikinci yarısının en büyük matematikçilerinden biri olan Michael Francis Atiyah, 11 Ocak’ta, 89 yaşında aramızdan ayrıldı.

Kaynakça

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Atiyah.html

https://www.britannica.com/biography/Michael-Francis-Atiyah

https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Atiyah

https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_K-theory

https://en.wikipedia.org/wiki/Atiyah%E2%80%93Singer_index_theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Atiyah%E2%80%93Bott_fixed-point_theorem

https://www.nytimes.com/2019/01/11/obituaries/michael-atiyah-dead.html

https://www.bbc.com/news/science-environment-46850763

https://www.heidelberg-laureate-forum.org/blog/laureate/sir-michael-francis-atiyah/

https://www.newscientist.com/article/2180504-riemann-hypothesis-likely-remains-unsolved-despite-claimed-proof/

https://www.johndcook.com/blog/2013/09/24/interview-with-sir-michael-atiyah/

http://celebratio.org/Atiyah_MF/cover/7/

https://physics.stackexchange.com/questions/1858/where-is-the-atiyah-singer-index-theorem-used-in-physics

Dipnotlar

[1] Topolojik bir uzayın özelliğidir. Bu noktada bir metrik uzayın (üzerinde uzaklık tarif edilebilen) üzerindeki tıkızlık kavramıyla yetinelim. Bir metrik uzay için tıkızlık, Öklid uzayının kapalı (tüm yığılma noktalarını içermesi) ve sınırlı (içindeki her bir noktanın diğerinden sabit bir uzaklıkta olması) olma özelliklerinin soyutlanmasıdır. Bir örnek: Reel sayılar doğrusu üzerindeki [0,1] kapalı aralağını ele alalım. Eğer bu aralık üzerinde sonsuz tane birbirinden ayrık nokta alırsanız, bu noktaların yığıldığı nokta(lar) yine aralığın içinde olacaktır. Örneğin, 1,1/2,1/3,1/4,… noktaları 0’yığılırlar. Bu kümedeki her iki noktanın arasındaki uzaklık sabit bir sayıdır, örneğin 0 noktası ile 1 noktası arasındaki uzaklık bir birimdir.

[2] Herhangi iki noktasının birbirinden ayrık komşuluklara sahip olduğu topolojik uzaylardır. Bir örnek: 2-boyutlu Öklid düzlemindeki bir birim yarıçaplı çemberi düşünelim. Bu çember üzerindeki herhangi iki noktayı ele alalım. Bu iki noktanın komşulukları minik yaylar olacaktır. Bu seçimi birbirinden ayrık olacak şekilde yapabilirsiniz.

[3] Topolojik uzay, bir küme ve o kümenin kuvvet kümesinin bir alt koleksiyonu ikilisiyle tarif edilir. Küme boş kümeden farklıdır ve bu koleksiyon, kümenin kendisini ve boş kümeyi, kümenin tüm alt kümelerinin herhangi birleşimlerini ve kümenin tüm alt kümelerinin sonlu kesişimlerini içerir. Bir örnek: X = {1, 2, 3, 4}, kümesi, τ = {{}, {2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} koleksiyonu ile birlikte bir topolojik uzay (X, τ) oluşturur, şartların sağlandığını kolayca görebilirsiniz.

[4] Bir vektör demeti, bir bütün uzay, bir taban uzay ve bu iki uzay arasındaki sürekli dönüşümle tarif edilir ve taban uzayındaki her noktanın komşuluğunun ters görüntüsünün, bu küme ile Öklid düzleminin kartezyen çarpımıyla topolojik olarak eş olması (homeomorfik) olması beklenir. Bir örnek: silindir, çember üzerinde bir vektör demetidir.

[5] Homoloji ve kohomoloji bir topolojik uzayla ilişkilendirilen değişmeli grupların dizisiyle tarif edilirler ve sezgisel olarak topolojik uzayın bir boyuttaki delik sayılarını tarif ederler. Poincaré Dualite teorimine göre, kenarı olmayan tıkız bir manifoldun homolojisi ile kohomolojisi birbirinin tam dualidir. Örneğin, bir 3-boyutlu manifoldun 1. homolojisi, 2. kohomolojisine eşittir.

[6] Bir topolojik uzayın n. homotopi grubu, n- boyutlu küreden o topolojik uzaya dönüşümlerin homotopi sınıflarının (birim zamanda birbirine deforme edilebilen dönüşümlerin denklik sınıfı) kümesidir. n. homotopi grubu işlemi, bu dönüşümlerin bileşkeleri yardımıyla tarif edilir.

[7] Öncelikle bir grup, bir küme ve onun üzerindeki bir ikili işlemle tarif edilir. Bu işlemin dört özelliği sağlaması beklenir: kapalılık (kümemiz X, işlemimiz * olsun. X’in herhangi iki elemanı a ve b yi alalım. Kapalılık şartı için a*b’nin X’in elemanı olmasını istiyoruz), birleşmelilik (yine X’in keyfi a,b ve c gibi üç elemanı alalım. Birleşmelilik için a*(b*c)=(a*b)*c eşitliğinin sağlanmasıdır), birim elemanın varlığı (X’in keyfi bir a elemanı için, a*e=e*a=a olacak şekilde bir e birim elemanı istiyoruz) ve son olarak ters elemanın varlığı (X’in keyfi bir a elemanı için, a*b=b*a=e olacak şekilde bir b elemanı istiyoruz). Bir örnek: Tam sayılar ve toplama işlemi. Bir grup homomorfizması iki grup arasında, grupların işlemleriyle uyumlu olan dönüşümdür. İki grubumuzda Tam sayılar ve toplama işlemi olsun. Her tam sayıyı iki katına götüren f gibi bir dönüşüm alalım. Bu durumda f bize bir grup homomorfizması verir: Keyfi a ve b iki tam sayı için, f(a+b)=f()+f(b)’ dir çünkü 2(a+b)=2a+2b.

[8] Pürüzsüzlük bir manifold özelliğidir. Üzerinde kalkülüs yapmanın müsait olduğu tipteki manifoldlar pürüzsüz manifold olarak adlandılır. İki örnek: n-boyutlu Öklid uzayı, n-boyutlu birim küre.

[9] Bir n-boyutlu manifold, yerel olarak n-boyutlu Öklid uzayına benzeyen topolojik uzaydır. İki örnek: birim çemberin üzerindeki bir noktanın komşuluğu olan yay topolojik olarak bir boyutlu Öklid uzayıyıyla eştir. İki birim çemberi birbiriyle kartezyen çarparak elde edebileceğimiz simit (torus) uzayını ele alalım. Simitin üzerindeki bir noktanın komşuluğu olan disk topolojik olarak iki boyutlu Öklid uzayıyıyla eştir.

[10] Manifoldun bir noktasındaki teğet uzayı, o noktadan geçen bütün olası teğet vektörleri içeren uzaydır.