Peter Scholze: Fields madalyası alan en genç matematikçilerden biri
Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde Fields madalyası verilen dört isimden biri Peter Scholze oldu. 1987 doğumlu Scholze, yeni ve devrimci çalışmalarıyla matematiği daha birleşik ve sade hale getirdi.
[BAA - Matematik/ Oğuz Şavk, Kazım İlhan İkeda]
Peter Scholze
Matematiğin Nobel’i olarak anılan, Uluslararası Matematikçi Kongresi’nde dört yılda bir verilen Fields madalyaları, geçtiğimiz günlerde Brezilya’nın başkenti Rio’da sahiplerini buldu. Bu yıl dört kişiyi ödüllendiren komitenin seçkisindeki en genç isimle, Peter Scholze ile başlayalım:
1987 yılında Doğu Almanya’nın Dresden kentinde dünyaya gelen Scholze, Berlin’de büyüdü. Heinrich-Hertz lisesinde eğitim gördü. Bu süre zarfında katıldığı Uluslararası Matematik Olimpiyatları’nda, üç altın ve bir bronz madalya kazandı.
Bonn Üniversitesi’nin Matematik bölümünde eğitimine başlayan Scholze, üç dönemde lisans ve sonraki iki dönemde yüksek lisans derecesini aldı. 2012 yılında, perfektoid uzayları konu alan doktora tezini Micheal Rapoport’un danışmanlığında tamamladı. Scholze tarafından tanımlanan erfektoid uzayları fraktal yapıların özel bir sınıfı olarak düşünebiliriz fakat ileride tartışacağımız gibi bu tanım derin soyutlamalar içerecektir.
2011-2016 yılları arasında Clay Matematik Enstitüsü’nde araştırmacı olarak çalışan Scholze, doktora tezini tamamladıktan çok kısa bir süre sonra Bonn Üniversite’sinde profesörlük görevine getirildi. Böylece Almanya’nın en genç matematik profesörü olma ünvanına layık oldu. Bu yıl itibariyle de aynı zamanda Max Planck Enstitüsü’nin Matematik bölümünde yöneticilik yapmakta.
Scholze bu kısa zaman diliminde bir çok prestijli ödül kazandı. 2012 yılında Prix and Cours Peccot ödülüne layık görülen Scholze, 2013’te Ramanujan ödülünü elde etti. Ardından 2014’te Clay araştırma ödülünü aldı. 2015’te sırasıyla Cole, Ostrowski ve Fermat ödüllerini kazandı. 2016 yılında, Alman Araştırma Kuruluşu tarafından verilen Leibniz ödülüne layık görüldü.
Son olarak Fields madalyasını kazanan Scholze, Jean-Pierre Serre’den sonra bu ödülü kazanan en genç matematikçi oldu. Bu ödüle en genel olarak, p-sel cisimler üzerindeki aritmetik cebirsel geometriyi kendisi tarafından ortaya konulan perfektoid uzaylara taşıması ile layık görüldü. Bu sayede Galois temsiller kuramına uygulamalar sundu ve yeni kohomoloji kuramlarının gelişmesine öncülük etti.
Cebirsel Geometri ve Scholze
Cebirsel geometri, cebirsel çeşitlilik (varyete) isimli soyut uzayları konu alan modern bir matematik bir dalıdır. Bu çeşitlilikler en genel anlamıyla polinom denklemlerin bir koleksiyonunun çözüm kümeleridir. Örneğin, x²+y²=3z² denklemini ele alalım. Eğer bu polinomun katsayılarını gerçel sayılar olarak ele alırsak, bu denkleme karşılık gelen çeşitlilik, üç boyutlu koninin yüzeyine denk gelir. Aritmetik geometri’nin temel işlevi ise bu içeriğin geometrik araçlarla yorumlamasıdır.
Eğer bu polinomun katsayılarını diğer sayı cisimlerinden seçersek, doğrudan gözlemlenemeyen soyut nesneler elde ederiz. Örneğin, sayı cismimizi p-sel sayılar alabiliriz. Verilen bir pasalı için p-sel sayılar cismi, rasyonel sayıların bu asal sayıya sadık kalarak tamamlanışıdır.
Yirmi ve yirmi birinci yüzyıl matematiğinin en çok çalışılan alanlarından biri olan kohomoloji kuramı, soyut uzayların özelliklerini anlamamızı sağlar. Karşılık gelen uzayın özelliklerine göre bir çok kohomoloji kuramı mevcuttur. Topolojik kohomolojinin en temel tipi tekil kohomojidir ve uzayların deliklerinin sayısı yardımıyla cebirsel bir sınıflandırma ortaya koyar. Başka bir kohomoloji çeşidi olan de Rham kohomoloji ise formlar adı verilen ve uzayların çeşitli kalkülüs oluşumlarına karşılık gelen yapılar hakkında analitik bir bilgi sunar. İngiliz matematikçi W.V.D. Hodge’un çalışması sayesinde, yukarıda tariflediğimiz iki kohomoloji tipinin karmaşık sayılar üzerindeki çeşitlilikler hakkında aynı bilgiyi sunduğunu biliyoruz. Bu kavrayış diğer matematikçiler tarafından Hodge kuramı olarak adlandırılmıştır.
Altmışlı yıllar boyunca, Fransız matematikçi Alexander Grothendieck ve arkadaşları soyut uzayların cebirsel geometrik yöntemlerle daha iyi bir içimde anlaşılması için Étale kohomoloji olarak adlandırılan daha genel bir bakış açısı sundular. Grothendieck bu çalışmalara öncülük ettiği neticesiyle 1966 yılında Fields madalyasını kazanan matematikçilerden biri oldu.
Étale kohomoloji, tekil kohomolojinin daha soyut cebirsel bir türü olarak düşünülebilir. Bu yeni kuramı önemli hale getiren unsur ise p-sel sayılar üzerine çeşitlilikler için bu çeşitliliğe karşılık gelen polinomun Galois grubu ile ilişki kurmasıdır. Bu sayede, polinom denklemlerin çözümlerini tasfir eden Galois grubu ile elde edilen cebirsel bilgiler taşınabilir hale gelmiştir.
Grothendieck, Hodge kuramının ortaya koyduğu türde bir denkliğin p-sel türde yeniden kanıtlanabileceğini ortaya koymuştur. Tam olarak bu sanı, p-sel sayılar üzerindeki çeşitlilikler için Étale kohomoloji ile de Rham kohomojinin cebirsel türünün aynı olacağını ön görür.
Perfekoid Cisimler ve Scholze
Jean-Marc Fontaine ve Jean-Pierre Wintenberger gibi matematikçilerin çalışmalarıyla bu sanıyı kuvvetlendirilmiştir. Bu katkılar Scholze tarafından ortaya sunulan perfektoid uzayların içeriğini oluşturmuştur. Ayrıca bu uzaylar Étale kohomoloji ve Grothendieck tarafından önerilen p-sel Hodge kuramının nitelikleri ile donanmıştır.
Perfektoid uzayların Scholze tarafından tanımlanışı matematikte kısa sürede muazzam bir ilerlemeye yol açmıştır. İlk olarak Scholze, bu yapıları Belçikalı matematikçi Pierre Deligne (1978 yılı Fields madalyası sahibi) tarafından ortaya koyulan “weight-monodromy” sanısına uygulamıştır. Deligne’nın tarifinden sonra bu sanı, kimi durumlar için kendisi ve kimi matematikçiler tarafından kanıtlanmıştır. Deligne’nın kanıtına, perfoktoid eğiş metoduyla yaklaşımı sayesinde Scholze, bu sanının önemli yeni durumlarını ortaya koymuştur. Ayrıca Scholze, Alman matematikçi Gerd Faltings’in (1986 yılı Fields madalyası sahibi) p-sel Hogde kuramının temel taşlarından biri olagelen “almost purity” teoreminin genelleştirilmiş bir türünü kanıtlamıştır. Derslerini takip ettiği Faltings, kendi deyişiyle Scholze’nin en çok etkilendiği matematikçilerden biridir.
Tüm bunlara ek olarak Scholze, p-sel Hodge kuramının temel sonuçlarını genişletmiş ve ilerletmiştir. Bunun yapılabileceği ilk olarak, 1966’da Amerikalı matematikçi John Tate tarafından ortaya atılmıştır. Scholze, Tate’in “rigid-analytic” uzaylarının yerel olarak perfektoid uzaylar olduğunu göstermiştir. Bhargav Bhatt ve Matthew Morrow ile birlikte p-sel Hodge kuramının tam sayılar versiyonunu geliştirmiştir. Bu sayede karakteristik p liflerin kohomolojisi ile p-sel liflerin kohomolojisi arasındaki ilişkiyi tarif etmişlerdir.
Scholze’nin elde ettiği başarılarının son örneği ise yerel olarak simetrik uzayların kohomojisi hakkındaki çalışmalarıdır. Bu tip uzayların kohomolojilerine karşılık gelen Galois temsillerinin varlığını kanıtlamıştır. Perfektoid cisimler bu kanıtta anahtar bir rol oynamıştır. Ayrıca bu sonuçlar, Laglands programı için önemli bir ilerleme ve genişleme ortaya koymuştur. (Laglands programı, derin ve geniş kapsamlı matematiksel sanıları içeren bir soyutlama ağının bütünüdür ve Kanada asıllı Amerikalı matematikçi Robert Laglands tarafından öne sürülmüştür.)
Altmışlı yıllarda, Grothendieck kendisi tarafından ortaya atılan motiflerin kuramını ortaya koymuştur ve bu çalışmanın amacı evrensel bir kohomoloji kuramı tarif etme ihtiyacındandır. Rus matematikçi Vladimir Voedosky’nin (2002 yılı Fields madalyası sahibi) önemli katkılarına karşın, Grothendieck’in hayali yarım kalmıştır. Scholze probleme başka bir bakış açısıyla yaklaşarak, gözlemlenebilir her açıdan evrensel olarak davranan ve prizmatik kohomoloji adı verilen bir kohomoloji kuramı geliştirmiştir.
Scholze yeni ve devrimci çalışmaları, özetle matematiği daha birleşik ve sade hale getirmiştir. Perfektoid uzaylar yardımıyla cebirsel ve aritmetik geometriye getirdiği yeni soluk, bir çok matematikçiyi kendisine hayran bırakmıştır. Henüz 30 yaşında olmasına rağmen Scholze’nin matematiğe verdiği katkılar ilham vericidir ve büyük olasılıkla olmaya da devam edecektir.
Kaynaklar:
1. https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/scholze-final.pdf
Not: Yukarıdaki yazının matematiksel arka planı bu kaynağın derlenerek ve sadeleştirilerek çevirilişinden ibarettir.
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Scholze
Görüş ve önerileriniz için: