Notaların matematiği

Aynı notayı farklı müzik enstrümanlarında farklı şekilde duyarız. Bu durum, notaların havada yarattığı dalgaların biçimlerindeki farklılıklardan kaynaklanır. Bu yazıda bu biçimlerin matematiksel arka planının teorisinden ve kulak zarının bu teoriyi nasıl “anladığından” kısaca bahsedeceğiz.

[BAA - Matematik]

Havada bulunan moleküller sürekli olarak birbirine kuvvet uygular ve basınç yaratırlar. Belli bir noktada moleküller sık ise basınç daha yüksek, daha seyrek ise basınç daha düşük olur. Sesi, bir kaynağın hava moleküllerinde yarattığı bu basınç değişimlerinin kulakta yarattığı etkilerinin sonucunda duyarız.

Müzik organize edilmiş sestir. Yani bu basınç değişimlerinin enstrümanlar yardımıyla belli şekillerde yaratılmasıyla müzik ortaya çıkar. Aşağıdaki tabloda bir ses dalgasının hareketini ve onun matematiksel ifadesini görüyoruz. \( P\) ekseni basıncı temsil ediyor, \( x\) ekseni ise uzayda ses dalgasının hareket yönünü gösteriyor. Noktaların sık olduğu yerlerde basıncın yüksek, seyrek olduğu yerlerde basıncın düşük olduğunu görebilirsiniz. Eğrinin \( x\) eksenini kestiği noktalar (bir başka deyişle \( P\)’nin sıfır değerini aldığı yerler) atmosfer basıncını temsil ediyor. Yani ses, atmosferik basınçta yaratılan değişimlerle ortaya çıkıyor. Grafikte, zaman geçtikçe moleküllerin \( x\) ekseni yönünde dalga gibi hareket ettiğini ve karşılık gelen grafiklerin de bir dalga gibi kaydığını görüyoruz.

Grafikler lise eğitimi almış herkesin bir kez de olsa duymuş olduğu sinüs fonksiyonunun grafikleri. Matematiksel olarak \(f(x)=\sin x\) olarak ifade ediliyor. Bu fonksiyon çemberin geometrisi yardımıyla ya da daha ileri seviyede polinomların sonsuz toplamları şeklinde tanımlanabilir. Bu yazıda bu tanımlara girmeyeceğiz.

Grafiklere baktığımızda iki temel özellik dikkat çekiyor. Birincisi \( P\)’nin aldığı en yüksek ve en düşük değerler. Hatırlarsanız \( P\) değeri atmosferik basınçtan sapmayı ifade ediyordu. Bu sapma yani basınç değişimi ne kadar büyükse ses o kadar “yüksek” oluyor. İkinci özellik ise grafiklerin “periyodik” olması. Yani grafik birbirini tekrar eden şekillerden oluşuyor. Resimdeki şekil, ard arda gelen sık ve seyrek molekül yapılarının periyodik olarak birbirini tekrar etmesiyle oluşuyor. Her bir tekrar ediş bir periyoda denk geliyor.

Bu tekrar ediş ne kadar sıksa sesin “frekansı” o kadar yüksek oluyor. Tekrar ediş ne kadar seyrek ise sesin “frekansı” o kadar düşük demek. Nota dediğimiz şey temel olarak sesin frekansı ile belirleniyor. Yani nota basınç değişiminin sıklığını ifade ediyor. Bir başka deyişle nota atmosferik basınçtan sapmanın büyüklüğüyle yani sesin yüksekliğiyle değil frekansı ile tanımlanıyor. Örnek olarak \( A\) ile gösterilen la notası 440hz ve katları frekanslarla tanımlanır. Hertz bir saniyedeki tekrarlama sayısı olarak tanımlanır. Yani la notasını çaldığımızda kulak zarımız bir saniyede 440 kere aynı periyodu algılıyor.

Bilgi Kutusu

Farklı frekansları matematiksel olarak ifade etmek zor değil. Örnek olarak \(f(x)=\sin 2x\) fonksiyonunun periyod uzunluğu \(f(x)=\sin x\) fonksiyonunun periyod uzunluğunun yarısı. Ancak periyot azalırken frekans artıyor ki bu üzerinde biraz düşündüğünüzde tam da beklediğimiz şey. Yani \(f(x)=\sin 2x\) fonksiyonunun frekansı \(f(x)=\sin x\) fonksiyonunun frekansının iki katı olacak. Sonuçta \( x\) yerine \( 2x\) yazdığımızda bir şeyleri hızlandırmış oluyoruz! Özetle frekansla periyod ters orantılı büyüklükler. Biri azaldığında diğeri artıyor.

Farklı enstrümanlardan aynı notayı çaldığımızda farklı duymamıza sebep olan şey nedir?

Aşağıdaki grafikte üç farklı enstrümanda çalınan la notasının (440hz) ürettiği ses dalgalarını görüyoruz. Bu dalgalar yukarıda bahsettiğimiz saf sinüs dalgası formunda değiller ve hepsi de birbirinden farklı. Dolayısıyla algıladığımız seslerin hepsi aynı la olsa da farklı şeyler duyarız. Bu duyma işlemindeki en önemli rollerden biri kulak içindeki salyangoz kısmının tabanında bulunan zar tarafından gerçekleştirilir. Şimdi bu zarın yaptığı işle matematikteki dalga teorisinin ilişkisinden bahsedip bitiriyoruz.

Fourier teoremi

Matematikte \(f(x)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin (nx)+ B_n\cos(nx)\) şeklinde ifade edilen “sonsuz toplam”lara Fourier serisi ya da trigonometrik seri denir. Bu konu 19. yüzyıl sonu ve 20. yüzyıl başı matematikte kümeler teorisi, fonksiyonlar teorisi ve analizin gelişimini etkileyen en önemli konu başlığı olarak görülebilir. Modern olarak dalga teorisiyle ilişkisinden ötürü de matematiksel fizik diye bilinen alanın de en önemli konu başlıklarından biridir. Genel olarak konunun temel teoremi olan ve Fourier Teoremi olarak bilinen teoremi kısaca şöyle ifade edelim:

Fourier Teoremi: \( f\) isminde yeterince düzgün periyodik bir fonksiyonumuz olsun ve bir periyottaki ortalama değeri sıfır olsun. O zaman \( f\) fonksiyonu şu şekilde ifade edilebilir:

\(f(x)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin (nx)+ B_n\cos(nx)\)

Burada “yeterince düzgün” türevlenebilirlik anlamında kullanılıyor. Grafiğinde çok keskin dönüşler ya da kopmalar olmayan bir fonksiyon olarak düşünülebilir. Ortalama değerin sıfır olmasını konuyla ilişkilendirerek şöyle anlayabiliriz. Fonksiyonumuz ilk grafikteki gibi atmosferdeki basınç değişimlerini ifade ediyor. Atmosferdeki basınç değişimlerini ortalamada sıfır kabul edebiliriz. Bir yerde basınç azalıyorsa diğer yerde aynı oranda artmalı prensibinin ifadesi olarak görülebilir. Formülde \(cos\) olarak görünen kosinüs fonksiyonu da temelde “sinüssel” bir fonksiyon, yani şekil olarak sinüs fonksiyonunun biraz kaydırılmış haline denk geliyor. Buradaki amacımız için teknik bir detay olarak görmezden gelinebilir.

Teoremin bize söylediği şu: enstrümanlardan la sesi çıkardığımızda üstteki resimde ortaya çıkan ses dalgaları sinüssel fonksiyonların toplamı şeklinde ifade edilebilir. Dolayısıyla nota, enstrümana bağlı olarak, bir tek saf sinüs dalgası şeklinde değil, farklı frekanstaki sinüssel dalgaların bir birleşimi olarak kulağımıza geliyor. Yukarıda yazdığımız bilgi kutusuna referansla şunu biliyoruz: \( n\) bir doğal sayı olmak üzere \(\sin nx\) fonksiyonunun frekansı \(\sin x\) fonksiyonunun frekansının n katıdır. Dolayısıyla teoremin bize söylediği şey, bir nota \(n=1\)’e denk gelen “temel frekans” ve frekansı onun katları olan sinüssel dalgaların birleşimi olarak ortaya çıkıyor. Formülde görülen \(A_n\) ve \(B_n\) katsayıları nota içinde “harmonik” diye tabir edilen üst frekansların şiddetini yani o frekanstaki seslerin yüksekliğini bize söylüyor. Aşağıdaki grafikte notanın frekanslara ayrışmasını görebiliriz:

Burada ilk 4 harmoniğin grafiklerini görüyoruz. Her enstrüman için kırmızı grafik \(n=1\)’e yani temel frekansa denk geliyor. Diğer renkteki grafiklerin frekansının kırmızı renkli grafiğin frekansının katları olduğunu görebilirsiniz. Biraz daha anlamak için \(n=3\)’e denk gelen grafiğin hangi renk olduğunu bulmaya çalışabilirsiniz.

Notaların frekansla belirlendiğinden bahsetmiştik. Kulaktaki salyangozun içindeki zarın yaptığı işlem tam olarak bu fourier toplamını deşifre etmek. Bu deşifrede \(n=1\)’e denk gelen temel frekans ise notayı belirleyen frekans! Kulağımız bu deşifreyi şöyle yapıyor: Salyangozun içindeki zarın kalınlığı salyangoz içerisinde değişiklik gösteriyor ve kalın bölgeler düşük frekansları, ince bölgeler ise yüksek frekansları algılıyor.

Fourier serilerine dair çalışmalar matematikte en soyut alanların gelişmesine önayak olmuş çalışmalar ve kulağımız bu soyutlukta çalışmalarla uyum içerisinde! Yani matematik en soyut mertebesinde bile matematikçilerin onu nasıl icra ettiğinden bağımsız bir şekilde doğayla derin bir ilişki içerisinde!

Kaynak:

The Mathematics of Music, Zhou Fan, http://www.stat.yale.edu/~zf59/MathematicsOfMusic.pdf