Asal sayılar teoremi
Bu yazıda kısaca asal sayıların dağılımı ile ilgili bir teoremden bahsedeceğiz.
[BAA - Matematik]
Asal sayılar konusu daha önce bu sayfada farklı başlıklar altında çokça işlendi. Tekrardan hatırlayalım, bir asal sayı kendisinden ve 1’den başka böleni olmayan doğal sayılar olarak tarif edilebilir. Asal sayıları matematik açısından bu kadar önemli yapan ise “Aritmetiğin Temel Teoremi” olmasıdır. Bu teoreme göre herhangi bir sayı ya asaldır ya da asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılabilir. Bu teorem sayesinde asal sayıları sayı teorisinin yapıtaşları, atomları olarak düşünebiliriz.
Peki asal sayıların sayı doğrusu üzerindeki davranışları, dağılımı hakkında kesin şeyler söyleyebilir miyiz? Bu kısa yazıda asal sayılara ait önemli bir teorem ifade edilmeye çalışılacak.
Asal sayıların tarihi M.Ö 400 yıllarına Antik Yunan’a kadar uzanır. Dönemin idealist matematik okulu olan Pisagorcular, bazı sayıların bölünebilir olduğunu bazılarınınsa bölünemez olduğunu keşfetti. M.Ö. 300’de Öklid, “Elementler” isimli kitabında en büyük asal sayının olmadığını yani asal sayıların sayısının sonsuz olduğunu gösterdi. Sonraki uzun yıllar boyunca insanlar, asal sayıların sonu gelmez uzun bir dizisini oluşturmaya çalıştılar ama başarısız oldular. Bu çabalarının başarısızlıkla sonuçlanması sonrasında ise yeni bir arayış başladı. Asal sayıların genel dağılımını veren matematiksel bir formül üretebilir miyiz?
Asal Sayı Teoremi, temelde bu soruya cevap vermeye çalışan matematiksel bir araç. Asal sayı teoremi bize verilen herhangi bir pozitif reel sayıya eşit veya ondan küçük olan asal sayıların sayısını verir. \(x\) herhangi bir pozitif reel sayı olmak üzere \(x\)’ten küçük veya eşit asal sayıların sayısı geleneksel olarak \(\pi(x)\) ile gösterilir. Örneğin \(x\) sayısını sırasıyla \(2\), \(5\), \(7.5\) ve \(12\) olarak düşünelim. Bu durumda \(\pi(2)=1\), \(\pi(5)=3\), \(\pi(7.5)=4\) ve \(\pi(12)=5\) olur.
Asal Sayı Teoremi ile ilgili ilk varsayım 1798 yılında Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre (1752-1830) tarafından ortaya konuldu. 1808 yılında Legendre, ilk varsayımını geliştirdi ve yeterince büyük herhangi bir pozitif \(x\) reel sayısı için \(\pi(x)\) sayısının yaklaşık olarak \( \frac{x}{\ln(x)-108366} \)’ye eşit olduğunu savladı. Bu varsayımdaki “-108366” kısmını unutursak teoremin bugünkü bilinen son hali elde edilir. Bu nedenle gayet başarılı bir tahmin denilebilir. Legendre, teoremle ilgili ilk varsayımı yayınlamasına rağmen Gauss da 1792-1793 yılları arasında asal sayılar üzerine yoğun çalışmalar gerçekleştirdi.
Legendre’nin varsayımını ispatlamak konusundaki ilk büyük adımı 1837 yılında Alman matematikçi Peter Gustav Lejenue Dirichlet (1805-1859) attı. Dirichlet’nin teoremin ispatına dönük çalışmalarında kullandığı analitik method, 19.yüzyıl matematiğine yepyeni bir fikrin girişini sağladı. Dirichlet sonrası teoremin ispatıyla ilgili önemli ikinci katkı 1851 ve 1852 yıllarında Rus matematikçi Pafnuti Tchebyshev (1821-1894) tarafından yapıldı. Teoremin ispatına dönük en büyük gelişme ise 1860 yılında Alman matematikçi Bernhard Riemann (1826-1866) tarafından kaydedildi. Riemann, bu çalışmaları sırasında sayıların aritmetiğiyle karmaşık fonksiyonların teorisi arasındaki ilişkiyi ortaya çıkararak önemli bir keşfe imza attı. Riemann Hipotezi olarak da bilinen ve belki de matematiğin şu an için en zor problemi olarak değerlendirilebilecek hipotez, asal sayıların dağılımı ile analitik fonksiyonların kökleri arasında bir ilişki olduğunu belirtir.
1896 yılında Riemann’nın geliştirdiği yöntemleri kullanarak iki Fransız matematikçi Jacques-Salomon Hadamard ve Charles de la Valée Poussin birbirlerinden bağımsız olarak “Asal Sayı Teoremi”ni ispatladılar. Bu teoreme göre \(x\) sayısı yeterince büyük -sayıların yeterince büyük olması önemli- olmak üzere \(\pi(x)\) yaklaşık olarak \(\frac{x}{\ln x}\) sayısına eşittir. Buradaki “yaklaşık olarak” matematikte “asimptotik olarak” ifade edilir. Yani burada bahsedilen eşitlik bildiğimiz anlamda tam bir eşitlik değildir. Asimptotik olarak eşit olmasının matematiksel anlamı ise şöyledir:
\( \lim _{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/ ln x}=1 \)
Örnek olarak;
\( \pi(100000) = 9592, \quad 10000/ln(10000) = 8685.9996 \)
\( \pi(100000000) = 576145, \quad 100000000/ln(100000000) = 5428681.0237\)
Kaynaklar
L.J.Goldstein, A History of Prime Number Theorem, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 6 (Jun. - Jul., 1973), pp. 599-615
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem