Üçgenin iç açıları toplamı neden 180 derece?

Öklid geometrisi üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu kabul eder. Modern matematiğin en önemli gelişmelerinden biri üçgenin iç açılarının toplamının 180 dereceden daha az ya da daha çok olduğu geometrilerin inşa edilebileceğini göstermesi

[BAA – Matematik]

Öklid milattan önce 300 yılında Elementler (The Elements) adlı kitabında geometrinin üzerine inşa edilebileceği beş temel kabulu (aksiyom) yazdı. Bu kabullerden beşincisi diğerlerine göre daha karmaşık görünen bir kabuldu. Bu beşinci kabulun denk ifadelerinden ikisi şöyle:

Bir doğruya, o doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve o doğruya paralel tek bir doğru vardır.
Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Öklid kitabında beşinci aksiyomu daha farklı bir şekilde ifade etti ancak Proclus (410-485) bu aksiyomun yukarıdaki ilk yazılan önermeye denk olduğunu ispatladı. Daha yakın bir zamanda ise Legendre (1752-1833) bunun yukarıdaki ikinci önermeye denk olduğunu gösterdi. Yani üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olması Öklid geometrisinin beşinci aksiyomuna denk bir önerme.

Matematikçiler, Öklid’den sonra yüzyıllarca beşinci aksiyomun Öklid’in ilk dört aksiyomunun bir sonucu olarak ispatlanabileceğini göstermeye çalıştılar. Bir başka deyişle üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olmasının bir aksiyom değil, ilk dört aksiyomdan çıkarılabilecek bir teorem olduğunu göstermeye çalıştılar.

19. yüzyıla gelindiğinde Gauss (1777-1855) beşinci aksiyomun diğer dört aksiyomdan bağımsız olduğu konusunda ikna olmaya başlamıştı. Bir başka deyişle beşinci aksiyomu ilk dört aksiyomu kullanarak ispat etmeye çalışmak yerine beşinci aksiyomun daha değişik olabileceği geometriler üzerine düşünmeye başlamıştı. Öyle geometriler olabilir miydi ki bir doğru dışındaki bir noktadan o doğruya paralel hiçbir doğru olmasın? Veya bir doğru dışındaki bir noktadan o doğruya paralel birden çok doğru olabilsin.

Küresel geometri

İlk dört aksiyomun ne olduğuna bu yazıda değinmeyeceğiz ancak araştırdığınızda beşinci aksiyomun ilk dördüne göre biraz daha değişik olduğunu düşünebilirsiniz. İlk dört aksiyomu değiştirmeden bırakıp beşincisini şu şekilde değiştirelim:

Bir doğruya, o doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve o doğruya paralel hiçbir doğru yoktur.

Öklid’in beşinci aksiyomunu bu şekilde değiştirdiğimizde elde edilen geometri şaşırtıcı şekilde basit. Dünya yüzeyinin geometrisi, yani küresel geometri!

Beşinci aksiyomun küre üzerinde ne anlama geldiğini anlamak için "doğru" kavramını tekrar ele alalım. Hepimiz ilk ve ortaöğretimde tek bir geometrinin matematiğini öğreniriz, Öklid geometrisi. Öklid’in geometrisinde doğru ne demektir? İki nokta arasına çizilen düz çizgi! Buradaki düzlüğün asıl geometrik anlamı ise şu: iki nokta arasındaki düz çizgi aslında iki nokta arasında gidilebilecek en kısa yolu verir. Matematiksel titizliği bir yana bırakıp doğruyu noktalar arasındaki en kısa yol olarak kavramaya çalışalım.

Dolayısıyla küre üzerindeki doğruları anlamaya çalışmak demek, aslında küre üzerindeki en kısa yolları anlamaya çalışmak demek. Küre üzerinde (ya da somut bir örnek olarak dünya yüzeyinde) iki nokta aldığımız zaman bu iki noktayı birleştiren en kısa yol nedir? Sezgisel olarak bu yolu hayal edebildilmek o kadar da kolay değil. Matematik disiplini içerisinde bu soruyu cevaplamak için ise üniversite seviyesinde bir matematik eğitimi gerekiyor.

Küre derken hep dünya yüzeyi gibi bir şey düşünüyoruz. Yeri kazıp içinden geçemiyormuşuz, dünya yüzeyine hapsolmuş gibi düşünüyoruz. Yani küre derken, içi boş küreden bahsediyoruz. Gideceğimiz yollar kürenin yüzeyinde! Bu şekilde düşündüğümüzde küre üzerindeki iki noktayı birleştiren en kısa yol bu iki noktadan geçen ve merkezi kürenin merkezi olan çemberin parçasıdır. Eğer Ankara’dan Şam’a en kısa yoldan yürümek istiyorsanız, Ankara ve Şam’dan geçen ve merkezi dünyanın merkezi olan çemberi hesaplayıp onun üzerinden yürümeniz gerekir. Kürenin doğruları büyük çemberler olarak adlandırılır. Çok güzel bir adlandırma. Sonuçta küre üzerinde çizebileceğiniz en büyük çemberler merkezi kürenin de merkezi olan çemberler.

Toparlayacak olursak küre üstünde tabii ki bildiğimiz düz çizgi olan doğrular yok, ama kürenin de kendine göre doğruları var! Beşinci aksiyomu küre üzerinde anlamaya neredeyse hazırız. Bunun için paralellik kavramını tekrar ele alalım. Ne mutlu ki bu çok daha basit bir kavram. İki doğrunun birbiriyle paralel olması aslında birbiriyle kesişmemesi demek.

Şimdi küre üzerinde iki doğrunun birbirine paralel olması ne demek, tam olarak anlayabiliriz. Küre üzerindeki iki doğrunun birbirine paralel olması demek küre üzerindeki iki büyük çemberin birbiriyle kesişmemesi demek! Fakat küre üzerindeki herhangi iki büyük çember birbiriyle kesişmek zorunda. Dolayısıyla küresel geometri beşinci aksiyomun değiştirilmiş halini sağlıyor:

Bir doğruya, o doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve o doğruya paralel hiçbir doğru yoktur.

Yani küre üzerinde

bir büyük çemberin dışındaki bir noktadan geçen ve o çemberle kesişmeyen hiçbir büyük çember yoktur.

Üçgenin iç açıları toplamı

Başta da değindiğimiz gibi Legendre 18-19. yüzyıllarda, Öklid’in beşinci aksiyomunun, üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğu önermesine denk olduğunu göstermişti. Yani beşinci aksiyom, yukarıdaki küresel geometri örneğinde olduğu gibi değiştirildiğinde, iç açılar toplamının 180 derece olmadığı başka geometriler verebilir.

Peki küresel geometride üçgenlerin iç açıları toplamı ne olabilir? Bunu anlamak için küre üzerinde üçgen ne demek, önce bunu anlayalım. Öklid geometrisinde bir üçgeni şöyle oluşturuyoruz. Aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta alıyoruz ve her iki noktayı birbirine bir düz çizgiyle, yani aralarındaki en kısa yol ile birleştiriyoruz. Küre üzerinde de aynısını yapabiliriz. Küre üzerinde aynı doğru üzerinde olmayan -yani bir büyük çember üzerinde olmayan- üç nokta alalım. Daha sonra her iki noktayı birbiriyle düz çizgilerle -küre üstünde olduğumuz için büyük çember parçalarıyla- birleştirelim. Aşağıda kırmızı çember parçalarıyla oluşturulmuş üçgene bakalım. Üçgenin köşelerinde kırmızı çember parçaları 90 derecelik açılarla kesişir. Dolayısıyla küresel geometride iç açıları toplamı 270 derece olan bir üçgen çizebiliriz.

Küresel geometride bütün üçgenlerin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür. Küresel geometrinin inşa edildiği gibi, beşinci aksiyomu başka bir şekilde değiştirerek üstündeki bütün üçgenlerin iç açıları toplamının 180 dereceden küçük olduğu bir geometri de inşa etmek mümkün. Bu geometriye ise "hiperbolik geometri" denir. Ancak hiperbolik geometriyi görsel olarak kavramak küresel geometriyi anlamaktan biraz daha zor.

Kaynaklar:

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry/