Kornanın zırt dediği yer: Torricelli Kornası
Bu yazıda Toricelli kornasından ve bundan yola çıkarak ünlü “boyacının çelişkisi”nden bahsedeceğiz.
[BAA - Matematik]
Öncelikle yazının geri kalanını da ilgilendiren teknik bir notla başlayalım. Yazının konusu olan ve Torricelli Kornası olarak çevrilen “nesnenin” ingilizcesi “Torricelli Trumpet”. Türkçeye doğrudan çevirmek istersek Torricelli trompeti olarak çevirmek gerekir. Ancak kornanın şekline ülke olarak aşina olduğumuz için “Torricelli kornası” olarak çevirmek daha uygun geldi.
Ev hanımı bir anne ve tekstil işçisi bir babanın çocuğu olarak dünyaya gelen Torricelli’nin matematiksel çalışmalarının bir ürünü olan Torricelli kornasının ilginç bir özelliği yüzey alanının sonsuz ama kapladığı hacmin sonlu olması. Evet yanlış okumadınız; yüzey alanı sonsuz ama hacmi sonlu. Nasıl olabilir ki diye merak etmişsinizdir belki. Fiziksel olarak böyle bir şey mümkün mü diye sormuş olabilirsiniz kendi kendinize. Cevabımızı doğrudan verelim; matematiksel olarak mümkün.
Efsaneye göre Torricelli kornasına kıyamet gününün habercisi olan Cebrail’in üfleyeceği kornadan esinlenilerek Cebrail kornası da deniliyor. Bizim için Torricelli kornası.
Öncelikle matematiksel olarak Torricelli kornası ne demek onu açıklayalım. \(y=f(x)=1/x\) fonksiyonunu düşünelim ve \(x \geq1\) olarak kabul edelim. Bu fonksiyonun grafiğini \(x \)-ekseni etrafında 360 derece döndürerek elde ettiğimiz matematiksel nesneye Torricelli kornası diyoruz:
Grafikte x-ekseni üzerinde sonsuza doğru giderken korna inceldiçe inceliyor. Bu nesnenin yüzey alanını hesaplamak istersek aşağıdaki genelleştirilmiş integrali almamız gerekecek:
\(\int_{1}^{\infty} 2\pi 1/x \sqrt{1+(-1/x)^2} dx\)
Bu integralde üst sınır değerinde yer alan \(\infty\) yerine sonlu bir değer yazsaydık integral belirli integrale dönüşürdü. Bu integral işlemini uygun matematiksel yöntemlerle aldığımızda sonucun sonlu bir sayı olmadığını ve sonsuza ıraksadığını görürüz.
Benzer şekilde hacmini hesaplamak istersek ise şu genelleştirilmiş integrali hesaplamamız gerekecek:
\(\int_{1}^{\infty} \pi (1/x)^2 dx\)
Bu integralin sonucu ise bize sonlu bir değer verecektir. Hatta bu sonlu değer “\(\pi\)” sayısıdır.
17.yy’da Torricelli kornası felsefi olarak çok tartışıldı. Zira dönemin düşün dünyasında “sonsuzluk” kavramının ideolojik nedenlerle yeri yoktu. Antik dönemden bugüne “sonsuzluk” kavramı filozofların ve matematikçilerin düşüncelerini meşgul etti. Antik Yunan’da sonsuzlukla ilgili ortaya çıkan çelişkileri, paradoksları çözmek amacıyla Aristo “aktüel sonsuzluk”, “potansiyel sonsuzluk” gibi kavramları önerdi. Bu kavramsallaştırma uzun bir süre matematiğe egemen oldu. Cantor’un 19.yy üçüncü çeyreğinde ürettiği “sonsuz kümelerin teorisiyle” sonsuzluk matematikte kendisine bir matematiksel nesne olarak yer buldu. Matematikçilerin nesnel sonsuzluğu kabul etmeleri yüzyıllar alsa da sonsuzluk felsefi bir kategori olarak “maddeye” içkindir. Zira “madde” sonsuzdur ve sonsuzdan gelip sonsuza gider. Buradaki felsefi tartışmaları şimdilik bu haliyle bitirelim ve pratik olarak Torricelli kornasına dönelim.
Literatürde boyacının paradoksu olarak bilinen paradoksa gelelim ki Torricelli kornasını ilginç yapan noktayı daha iyi anlayalım. Kornanın iç yüzeyi sonsuz. Yani iç yüzeyi boyamak için sonsuz miktarda boyaya ihtiyaç var. Fakat zurnanın hacmi sonlu (\(\pi\) kadar) olduğundan içine \(\pi\) miktarda boya dökersek iç yüzeyi de doldurmuş, dolayısıyla da iç yüzeyi boyamış oluruz. Sonlu miktarda boyayla sonsuz miktarda alanı boyamış olduk. Kornanın zırt dediği yer tam da burası.
Bu nasıl olabilir? Matematikçiler bu durumu nasıl açıklar ya da nasıl boyarlar?
Bu arada bu tartışmada fizikçiler için bir sorun yok çünkü fizikçiler haklı olarak derler ki hacmin birimi ile yüzey alanının birimi aynı değildir ve bu nedenle karşılaştırılamazlar. Eğer karşılaştırma yapmak istiyorsak “boyanın” kalınlığını da hesaba katmamız gerekecek. Aslında matematikçilerin bu durumu çelişki olarak ifade etmelerinin altında yatan mesele de “boyanın” kalınlığıyla ilgili.
Şimdi burada bahsi geçen “boya” bizim bildiğimiz fiziksel olandan farklı “matematiksel bir boya”. Nasıl yani diye sorabilirsiniz. Matematikçilerin yaptığı bir illüzyon numarasıyla daha karşı karşıyasınız. Hemen “matematiksel boyanın” tanımını verelim. Matematiksel boyayı yarıçapı bir olan açık küre olarak tanımlayalım. Açık küreyi de tek delikli içi boş bir bowling topu gibi düşünebilirsiniz. Sonuçta böyle bir tanımlama yönünde bir engel yok matematikçi için zira bu bir varsayım.
Bu açık kürenin hacminin sonlu olduğu herkesin malumu. Şimdi üç boyutta \(xy\)-düzlemini, yüzeyini düşünelim. Aslında kornayı boyama sorusu şöyle de formüle edilebilir: Birim küreyle \(xy\) yüzeyi arasında bire-bir eşleme bulabilir miyiz? Matematikçilerin buna cevabı evet.
\(f(x,y,z)=\ln(1-\sqrt{x^2+y^2+z^2})(x,y,0)\) fonksiyonunu düşünelim. Bu fonksiyon açık küre üzerindeki her noktayla sonsuz \(xy\)-düzlemi üzerindeki her noktayı bire-bir eşler. Küre üzerindeki bir delik olduğunu unutmayalım. Bu eşleme sayesinde sonlu hacimli açık küre ile sonsuz \(xy\)-düzlemini eşlemiş oluruz. Yani sonlu miktarda boya ile sonsuz bir alanı boyamak mümkün!
Burada yazılanlar matematikçilerin her istediğini kafalarına estiği gibi tanımladıklarına dair bir kanıya yol açmamıştır umarız.
Not: İntegral sembolü olan \(int\) aslında s harfini temsil ediyor ve s harfi birçok dilde toplam kelimesinin ilk harfine karşılık geliyor. Dolayısıyla bu sembolün seçilmesinin nedeni integralin temelde bir toplama işlemi olmasından kaynaklı. Bunu şu şekilde anlamaya çalışabiliriz. \(y=1/x\) grafiğini \(x\)-ekseni etrafında döndürürken her x noktasında aslında alanı \( \pi (1/x)^2\) olan \(1/x\) yarıçaplı bir disk oluşuyor. \(\int\) işaretinden sonraki kısım tam olarak x noktasındaki \(1/x\) yarıçaplı bu diskin alanı. \(x\), 1’den sonsuza değişirken bütün bu alanların toplamı kornanın içindeki hacmi taramış oluyor. Kornanın alanını veren bir önceki integralde de durum benzer olsa da burada değinemeyeceğimiz önemli bir farklılık da söz konusu.
Kaynaklar:
https://tr.wikipedia.org/wiki/Cebrail%27in_Borusu
https://thatsmaths.com/2017/04/13/torricellis-trumpet-the-painters-paradox/