Euler’in Çokyüzlü Formülünün Kanıtı

Bu yazıda ilk olarak Euler’in formül için sunduğu ikna edici ama yanlış kanıtını ele alacağız. Ardından formül için Legendre tarafından verilen ilk kesin kanıtı sunduktan sonra, Descartes’in formüle dair ön çalışmalarından bahsedeceğiz.

[BAA – Matematik/ Oğuz Şavk]

İlk olarak Euler’in çokyüzlü formülü yazısında bahsettiğimiz kavramları hatırlamakla başlayalım. Bütün yüzleri düzlemsel çokgenlerle sınırlanmış kapalı ve deliksiz katı cisimleri çokyüzlü olarak adlandırıyoruz. Bir çokyüzlü içerisindeki herhangi iki noktayı birleştirerek elde ettiğimiz doğru parçasının tamamı içerisinde kalıyorsa dışbükey diyoruz. Bu özelliği sağlamayan çokyüzlülere ise içbükey ismini veriyoruz. Bir dışbükey çokyüzlünün köşe sayısını \(V\), kenar sayısını \(E\) ve yüz sayısını F ile gösterirsek, Euler’in çokyüzlü formülü bu üç nicelik arasındaki ilişkiyi tarif ediyor: $V-E+F=2$

Euler kavram setinde bu nicelikleri sırasıyla katı cisim açısı, kenar ve yüz olarak adlandırdığını ve Latince baş harflerinden esinlenerek \(S\), \(A\) ve \(H\) sembolleriyle gösterdiğini konuşmuştuk. Ayrıca Euler dışbükey yerine düzlemlerle çevrelenmiş kavramını kullanıyor. Tüm önermelerini dışbükey çokyüzlüler için yazdığından içbükey kavramına rastlamıyoruz. Ancak anlamsal bütünlük sağlamak için içbükey yerine düzlemlerle çevrelenmeyen tanımını kullanabiliriz. Euler’in asıl makalesinde formül bu gösterimler altında şu hali alıyor: $S+H=A+2$

Şüphesiz bu iki ifade birbirine mantıksal olarak denk ve günümüzde yaygın olarak ilk biçimiyle kullanılıyor.

Euler’in İkna Edici Ama Yanlış Kanıtı

Birazdan sunacağımız ikna edici ama yanlış kanıtı içeren makale Euler tarafından 1752’de yazılır ve Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae isimli dergide 1758’de Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita (Düzlemlerle sınırlanmış katı cisimlerin bazı önemli özelliklerinin kanıtıları) başlığıyla Latince olarak yayımlanır. Euler’in makalesinde elde ettiği temel sonuçları listeleyerek başlayalım.

Proposition 1. Given a solid enclosed everywhere by plane faces, cut a given solid angle from it in such a way that in the resulting solid the number of solid angles is lesser by one.

Önerme 1. Her yeri düzlemsel yüzlerle çevrelenmiş bir katı cisim verildiğinde, verilen katı cismi, oluşacak katı cismin katı açılarının sayısı bir azalacak şekilde kesin.

Proposition 2. If any solid angle is removed from the proposed body in the manner previously explained, and in this way the number of solid angles is diminished by one, determine both the number of faces and the number of edges in the remaining solid, and likewise determine the sum of all the plane angles.

Önerme 2. Önerilen gövdeden herhangi bir katı açı daha önce açıklandığı şekilde çıkarılması ve bu şekilde katı açıların sayısı bir azaltılması durumunda, kalan katı cisimdeki hem yüz hem de kenar sayısını belirleyin ve aynı şekilde tüm düzlem açılarının toplamını belirleyin.

Proposition 3. In every solid enclosed by plane faces, the sum of all the plane angles which exist in its faces is equal to a number of right angles which is four times the number of solid angles minus eight; that is, if the number of solid angles is equal to \(S\), the sum of all of the plane angles is equal to \(4S-8 \) right angles.

Önerme 3. Düzlemsel yüzlerle çevrelenen her katı cisimde, yüzlerinde var olan tüm düzlem açılarının toplamı, katı açıların sayısının dört katının sekiz eksiği olan dik açıların sayısına eşittir; yani, katı açıların sayısı \(S\)’ye eşitse, tüm düzlem açılarının toplamı \(4S-8\) dik açıya eşittir.

Proposition 4. In every solid enclosed by plane faces, the number of faces along with the number of solid angles exceeds the number of edges by two.

Önerme 4. Düzlemsel yüzlerle çevrelenen her katı için, katı açıların sayısı yüz sayısı ile birlikte kenar sayısından iki fazladır.

Euler, makalesine \(V-E+F=2 \) formülünü bir tür indirgeme argümanı ile ispatlamayı planladığını işaret ederek başlıyor. İlk olarak, günümüzde matematiksel tümevarım olarak adlandırdığımız bu kanıt yöntemi o yıllarda henüz çok yaygın olmadığı için Euler okuyucuları bu kanıt tekniğine hazırlar. İki boyutta çokgenler üzerinde bazı üçgenleştirme tekniklerini içeren indirgeme argümanlarını tartışan Euler, bu yöntemleri üç boyutta çokyüzlülere genellemeye girişir. İfadelerinden de tahmin edilebileceği gibi Önerme \(2 \), Önerme \(3 \) ve Önerme \(4 \)’ün kanıtları Önerme \(1 \)’in kanıtına bağlıdır ve Euler hatayı Önerme \(1 \)’i kanıtlarken yapar.

Bir matematiksel kanıttan en temel isteğimiz, sunduğumuz varsayımlar altında tutarlı kalabilmesidir. Euler’in kanıtını hem ikna edici hem de yanlış yapan olgunun temel kaynağında bu yatar. İkna edicidir çünkü birçok örnekte geçerlidir, yanlıştır çünkü her durumda sağlanmaz.

Şimdi Önerme \(1\)’in sağlanmadığı bir istisnai örnek verelim. Şekil \(2 \)’deki \(v\) köşesini Euler’in tarifine göre kaldırırsak ortak bir kenara sahip iki tane çokyüzlü elde ediyoruz. Ancak Euler’in tanımı bu geometrik nesneyi bir düzlemlerle çevrelenen, yani dışbükey çokyüzlü olarak kabul etmiyor. Ortaya çıkan şekil sizin de görebileceğiniz gibi düzlemlerle çevrelenmeyen, yani içbükey bir çokyüzlüdür.

Legendre’nin Kanıtı

Euler'in çokyüzlü formülünün ilk kesin kanıtı, 1794 yılında yayınlanan Eléments de Géométrie (Geometrinin Öğeleri) adlı kitabında Adrien Marie Legendre tarafından verilir. 1752 – 1833 yılları arasında yaşayan Fransız matematikçi Legendre matematiğin özellikle analiz, sayılar kuramı ve geometri alanlarına özgün katkılar yapar. 1783 yılından itibaren Paris Bilimler Akademisi üyeliği yapan olan Legendre’nin Geometrinin Öğeleri kitabı çok popüler olur, birkaç basımdan geçer ve birçok dile çevrilir.  

Euler’in formülün kanıtına yaklaşımının daha kombinatorik yöntemlere dayandığını gördük. Beklenenin aksine Legendre'nin kanıtı küre geometrisine dayanır ve küresel çokgen alanları için verilen küresel aşırılık formülünü kullanır. İlk olarak bir çokyüzlüyü küre üzerine nasıl resmedebileceğimizi tartışalım.

Şimdi herhangi bir çokyüzlüyü, yeterince büyük bir kürenin içerisinde hayal edelim. Ayrıca bu kürenin merkezi çokyüzlünün içinde yer alsın. Kürenin merkezine bir mum yerleştirdiğimizi farz edelim. Çokyüzlünün kenarları bu ışık sayesinde kürenin sınırında yaylar oluştururlar. Kenarı yaylara dönüştüren bu yönteme radyal izdüşüm diyoruz. Kürenin üzerinde yaylarla sınırlanarak oluşan geometrik cisme çokyüzlü ağı adı veriyoruz. Radyal izdüşümün dörtyüzlü için nasıl çalıştığını Şekil \(3 \)’te görebilirsiniz.

Euler’in çokyüzlü formülünü kanıtlamak isteyen Legendre, çokyüzlülerin kendileri yerine, onların radyal izdüşümü olan çokyüzlü ağlarını ele alır. Çünkü bu geçiş çokyüzlünün köşe, kenar ve yüz sayısını değiştirmez.

Varsayalım ki küremizin yarıçapı \(1\) birim olsun. Bunu isteyebiliriz çünkü çokyüzlünün uzunluk gibi temel geometrik özellikleri ile ilgilenmiyoruz. Yarıçapı \(1\) birim olan kürenin yüzey alanı \(4 \pi \) birim karedir. Yüzey alanı ayrıca çokyüzlü ağının tüm yüzlerinin alanları toplamına eşittir. Her bir yüz küresel çokgen olduğu için küresel aşırılık formülü gereğince alanı, kenar sayısı \(n\) olmak üzere, açılarının toplamından \( (n-2) \pi \) çıkarılarak hesaplanabilir. Tüm bu alanların toplamı aşağıdaki gibi üçe ayrılalım:

·         Tüm küresel çokgenlerin tüm açılarının toplamı; her bir köşenin \(2 \pi \) katkısı olacağı için bu toplam \(4 \pi V \) olacaktır.

·         Tüm çokgenlerin kenarlarının sayısının toplamı \( 2E \)’dir ve her biri \( \pi \) katkı yapar.

·         Her bir yüzden gelen katkı \(2 \pi \)’dir.

Sembolik olarak ifade edecek olursak

$ \sum_{faces} (küresel \ çokyüzlünün \ alanı) $ $= \sum_{faces} ((açılar \ toplamı)-(kenar \ sayısı) \pi + 2 \pi) $ $= \sum_{faces} (açılar \ toplamı) - \sum_{faces}(kenar \ sayısı) \pi + \sum_{faces} 2 \pi$ $= 2\pi V - 2E \pi + F 2\pi$

Böylece kürenin alanını hem \(4 \pi \)’ye hem de \(2 \pi (V-E+F) \)’ye eşit olur. Her iki tarafını \(2 \pi \)’ye bölerek kanıtı tamamlarız.

Descartes’in Ön Çalışmaları

Eski bir soylu ailenin üyesi olan René Descartes (1596-1650), Anjou'daki La Fleche'nin Cizvit okulunda eğitim görür. Otuz Yıl Savaşları’nın başlarında orduda yer alır ve bu görevlerinden 1621'de ayrılır. Birkaç yıl seyahat ettikten sonra Hollanda'ya yerleşir ve burada yirmi yıl bilimsel ve felsefi çalışmalarda bulunur. 1649'da, İsveç Kraliçesi Christina'nın daveti üzerine Stockholm'e giden Descartes bir yıl sonra vefat eder.

Descartes öldüğü zaman, tüm varlığı Fransa'ya geri gönderilir ancak Paris'e geldiklerinde el yazmalarını içeren kutu nehre düşer. Çoğunluğu kurtarılır. Kurutulduktan sonra Gottfried Leibniz (1646-1716)’in de dahil olduğu bir sürü bilim insanına sunulur. Leibniz, aralarında on altı sayfalık Progymnasmata de solidorum elementis (Katı cisimlerin öğelerine dair çalışmalar) başlıklı makalenin de dahil olduğu birçok el yazmasını temize çeker. Daha sonra aslı ortadan kaybolur ve Leibniz’in kopyası da 1860’da yeniden keşfedilene kadar fark edilmez. Bu yüzden, 200 yıldan uzun bir süre boyunca, sadece Leibniz, Descartes'in çokyüzlüler üzerine çalışmalar yaptığı bilgisine sahipti. Euler'in zamanındaki ise hiç kimse bunu bilmediği için Euler çokyüzlülerin öğelerine dair çalışmalarını Descartes’in el yazmalarından bağımsız olarak keşfeder.

Descartes’in el yazmalarından Euler’in çokyüzlü formülünü bildiği anlaşılıyor. Ancak Descartes formülü başka şekilde ifade ediyor. Şimdi Descartes’ın ve Euler’in formüllerinin birbirine denk olduğunu gösterelim.

Katı cisimdeki bir düzlem açısını \(P \), tüm düzlem açılarının toplamını \(T \) ile gösterelim. Bir önceki yazımızda \(P=2E \) olduğunu göstermiştik. Descartes \(4V-T=8 \) olduğunu kanıtlar. Ayrıca \(T \) ve \(F\) nicelikleri verildiğinde \(P \) niceliğini \(P = (4F + T) /2 \) şeklinde bulabileceğimizi gösterir. Bu eşitlikte \(P \) yerine \(2E \) ve \(T \) yerine \(4V-8 \) yazarsak \( (4F + 4V– 8) /2 = 2E \) elde ederiz. İçler dışlar çarpımı yaptıktan sonra eşitliğin her iki tarafını düzenlersek tam olarak Euler’in çokyüzlü formülüne ulaşmış oluruz.

Yazımızı yine bir problemle bitirelim: İçbükey çokyüzlüler için Euler’in çokyüzlü formülüne benzer bir eşitlik bulunabilir mi? Eğer bulunabilirse nedir?

Kaynaklar

Cromwell, P. R. - Polyhedra, Cambridge University Press, 1997.

Euler, L. - Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita, Novi Commentarii Academiae Acientiarum Petropolitanae 4 (1752/4) 1758, p. 140-160, reprinted in Opera Omnia, Series I, Vol. 26, p. 94-108, 1975.

Euler, L. - Proof of Some Notable Properties with which Solids Enclosed by Plane Faces are Endowed, translated by Christopher Francese and David Richeson, 2004.

Prokhorov, A. M. (ed.) - Great Soviet Encyclopedia, René Descartes, Macmillan Publishers, Third Edition, 1979.

Prokhorov, A. M. (ed.) - Great Soviet Encyclopedia, Adrien Marie Legendre, Macmillan Publishers, Third Edition, 1979.

Sandfier, E - How Euler Did It, V, E and F, Part 2, Mathematics Association of America, 2006.

Görüş ve önerileriniz için: oguz.savk@boun.edu.tr