Collatz Sanısı
Bu yazıda ifade etmesi çok basit olan ama çözülmesi en önde gelen matematikçiler için bile imkansız görünen bir soruyu tanıtacağız.
[BAA - Matematik]
Matematikte sanı, doğruluğuna dair oldukça güçlü veriler olan ancak henüz ispatlanmamış önerme anlamına geliyor. Collatz sanısını ifade etmek oldukça basit. Dolayısıyla ilk karşılaşıldığında hemen üzerinde düşünmeye başlamak mümkün. Yine de henüz ispatlanabilmiş değil.
Bir pozitif tamsayı alın. Eğer çiftse ikiye bölün. Sonuç çift olduğu sürece ikiye bölmeye devam edin. Sonuç tek olduğu durumda ise \(3\) ile çarpıp \(1\) ekleyin. Örnek olarak \(4\) ile başlayalım. Çift olduğu için ikiye böldüğümüzde sonuç \(2\)’dir. \(2\) yine çift olduğu için tekrar ikiye bölelim. Sonuç \(1\). \(1\) tek sayı olduğu için bu sefer \(3\) ile çarpıp \(1\) ekliyoruz ve yine \(4\) elde ediyoruz. Yani 4 ile başladığımızda \( 4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots \) şeklinde devam eden bir döngü elde ediyoruz. Collatz sanısının iddia ettiği şey hangi pozitif tamsayı ile başlarsak başlayalım bir süre sonra elde edeceğim dizinin \( 4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots \) döngüsüne gireceği. Ya da daha basit bir ifadeyle, bir süre sonra hep \(1\) sayısının elde edileceği. \(2^{68}\) sayısına kadar olan bütün sayılar için elde edeceğimiz dizilerin bu döngüyle sona ereceği bilgisayarlar yardımıyla hesaplanmış. \(2^{68}\) sayısının büyüklüğünü kavramak çok zor ve bu nedenle Collatz sanısının iddia ettiği şeyin bütün pozitif tam sayılar için doğru olduğuna inanmak mümkün. Sanı dediğimiz şey de tam olarak bu: İspatlayamadığımız ancak doğruluğuna kuvvetle inanılan önerme.
Ünlü matematikçi Paul Erdös’e (1913-1996) göre matematik bu tür problemleri çözmek için henüz hazır değil. Sorunun sadeliğinin yarattığı çekicilik ve fakat zorluğu yüzünden matematikçilerin birbirlerini bu sorudan uzak durmak konusunda uyardıkları, ispatlamaya çalışmanın ümitsiz bir uğraş olduğu söylenir. Yine de çok yakın zamanda günümüzün en önde gelen matematikçilerinden Terrence Tao sorunun ispatına dönük olasılıksal bir yaklaşımla önemli sonuçlar elde etti. Tao bütün pozitif tamsayılar için olmasa da “neredeyse her” pozitif tamsayı için sanının doğruluğunu ispatlamış bulunuyor. Burada “neredeyse her” ifadesi oldukça yüksek bir olasılık anlamına geliyor.
Bilgisayar yardımıyla \(2^{68}\)’e kadar olan pozitif tam sayılar için elde edilen dizinin eninde sonunda \( 4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots \) döngüsüne girdiğini söylemiştik. Burada ilginç olan hangi sayıyla başlarsak başlayalım kuralları uyguladığımızda bir noktada \(1\)’e ulaşıldığı iddiası. Yani oyunun kuralı sayıları hep azaltıp \(1\)’e kadar düşürüyor. Sanı bir gün ispatlanırsa ispatın temelde bu azalma eğiliminin ispat edilmesiyle ilgili olacağı beklenebilir. \(f\) ismiyle bir fonksiyon tanımlayalım:
\(f\) ismiyle bir fonksiyon tanımlayalım: \( f(n) =n/2\) eğer n çift ise ve \( f(n) =3n+1\) eğer n tek ise. Bir \(n\) pozitif tam sayısıyla başladığımızda diziyi bu fonksiyonu tekrar tekrar uygulayarak elde ediyoruz. Mesela \(10\) sayısı ile başladığımızda \(f\) fonksiyonunu tekrar tekrar uygulayarak
\( f(10)=5, f(5)=16, f(16)=8, f(8)=4, f(4)=2, f(2)=1, f(1)=4, \ldots \)
dizisini elde ediyoruz ve yazının başında söylediğimiz döngüye ulaşıyoruz. Dolayısıyla, sanı bize şunu söylüyor; hangi n pozitif tam sayısıyla başlarsak başlayalım f fonksiyonunu tekrar tekrar uyguladığımızda azalma eğiliminde olan bir dizi elde ediyoruz. Sanının olası ispatı bu azalma eğiliminin ispatıyla derinden bağlantılı görünüyor.
Üzerine düşünmek için iki soru ile bitirelim. \( 4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots \) döngüsüyle biten sonsuz tane pozitif tamsayı bulabilir miyiz? 5 adım sonunda bu döngüye varan pozitif bir tamsayı bulabilir miyiz?
Kaynak:
https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-still-cant-solve-the-collatz-conjecture-20200922/
https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture