Çemberi kareleştirmek: Antik bir geometri problemi
İki haftalık bu yazı dizimizde çözümü 2200 yıl süren “Çemberi Kareleştirme” probleminden bahsedeceğiz.
[BAA - Matematik]
Çember ve alan formülü
Çoğumuzun ilkokul geometri derslerinden aklında kalan nesnelerden bir tanesi çember. Hatırlanacağı üzere, çember, düzlemde verilen bir noktaya belirli bir uzaklıktaki noktaların kümesidir.
Bu geometri derslerinden şu formülleri hatırladığınızı tahmin ediyoruz: Çemberin yarıçap uzunluğunu \( r \) ile gösterirsek, çemberin çevresi \( 2\pi r’ye \), sınırladığı alan da \(\pi r^2\)’ye eşittir. Buradaki \(\pi\) sayısı, çemberin çevresinin çapına olan oranı olarak tanımlanır ve yaklaşık olarak 3.14 sayısına eşittir (Haliyle çemberin çevresi ile ilgili formül, bir teorem değil, basit bir totoloji, kendiliğinden doğru olan bir cümledir. Buradaki asıl teorem, yarıçap uzunluğu ne olursa olsun her çemberin çevresinin çapına oranının sabit olmasıdır!).
Çemberin çevresinin çapına olan oranının sabit olması gibi, yarıçap uzunluğu \( r \)olan çemberin sınırladığı alanın bir kenar uzunluğu \( r \) olan karenin alanına oranının ( \( r \)’ye bağlı olmayan) bir sabit olduğu en azından Antik Mısır, Çin, Babil, Hitit ve Antik Yunan’da biliniyordu. M.Ö. 16. yüzyıldan kalma bir papirüste, Ahmes isimli bir Mısırlı katip çemberin sınırladığı alan için şu formülü veriyor: Çapı 9 khet (Antik Mısır uzunluk birimi) olan çemberin sınırladığı alanı bulmak için, 9’dan onun 1/9’unu, yani 1’i, çıkarırız ve geriye 8 kalır. 8’i kendisiyle çarpıp 64 elde ederiz, bu da çemberin alanını verir. Genellersek, Ahmes, \( r \) yarıçaplı çemberin sınırladığı alanı şu formülle hesaplamaktadır :
\(A=(2r-2r/9)^2=256/81r^2\)
256/81 sayısı yaklaşık olarak 3.16’ya eşittir ki bu da \(\pi = 3.1415…\) sayısı için başarılı bir yaklaşım olarak kabul edilebilir, en azından mimari veya astronomi için gereken işlemlerin sorunsuz bir şekilde hesaplanması için yeterlidir. Ahmes’in bu formülün “kesin olarak” doğru olmadığının farkında olup olmadığını bilmiyoruz lakin “kesin olarak” kavramının veya bir formülün kanıtlanması fikrinin Antik Mısır’da var olmadığına dair güçlü deliller var.
Alan formülünün kanıtı
Antik Yunan matematiğinin Antik Mısır, Çin veya Babil matematiğinden en büyük farkı, kanıt fikrinin ortaya çıkmasıdır. Antik Yunan toplumunun köle emeği ile zenginleşen şehirlerinde doğan filozoflar, kendilerinden önceki medeniyetlere kıyasla doğanın bilgisi üzerine daha soyut bir düşünce sistemi geliştirme fırsatı buldular. Bu filozoflar, kendilerinden önceki toplumların matematiğini öğrenip bunları kanıtladılar; sonra da kendi teoremlerini ürettiler. Şu anda Muğla’nın Datça ilçesinde bulunan ve dönemin en zengin liman şehirlerinden biri olan Knidos şehrinde doğan Eudoksus (M.Ö. 390-337) da çemberin alanının yarıçapının karesi ile doğru orantılı olduğunu ilk kanıtlayan matematikçi oldu. Bu kanıtı pas geçeceğiz zira bu teoremden daha güçlü bir teoremi, yani doğrudan çemberin alan formülünün kanıtını göstermek istiyoruz.
Eudoksus’tan yaklaşık 100 yıl sonra, şu anda İtalya, Sicilya’da bulunan Siraküza şehrinde doğan ve tarihteki en büyük matematikçilerden biri olan Arşimet (M.Ö. 287-212), çemberin alan formülünü kanıtladı. Kanıtı, Eudoksus ve diğer başka Antik Yunan geometricileri gibi, tüketme yöntemini kullanmaktadır (bu metod, kalkülüsün ilkel bir formu olarak görülebilir). Arşimet, çemberin içine ve dışına kenar sayıları gittikçe artan düzgün çokgenler yerleştirdi:
Çemberin içine yerleştirilen her çokgenin alanının çemberin sınırladığı alandan daha küçük olacağı açıktır. Benzer şekilde çemberin dışındaki çokgenlerin alanı da çemberin alanından büyük olacaktır. Fakat çokgenin kenar sayısı arttıkça, çember ile çokgen arasında kalan alanlar da gittikçe küçülmektedir. Eğer çokgenin bir kenar uzunluğuna \( s\) ve çemberin merkezinden bir kenarın orta noktasına olan uzunluğa \( h\) dersek, çemberin içindeki \( n\) kenarlı düzgün çokgenin alanı \( n\times s\times h/2\)’ye eşit olur:
Çokgenin çevresi, \( n\times s\)’e eşittir ve çemberin çevresi olan \( 2\pi r\)’den küçük olmak zorundadır. Benzer şekilde h de çemberin yarıçapı olan r’den küçüktür. Bu nedenle, çokgenin alanı \(\pi r^2\)’den küçüktür. Şimdi Arşimet’in argümanının can alıcı kısmına geldik. Eğer çemberin alanı \(\pi r^2\)’den büyük olsaydı, çokgenin alanı ile çemberin alanı arasındaki farkı istediğimiz kadar küçültebildiğimiz için kenar sayısını yeterince artırdığımız zaman oluşan çokgenin alanı da \(\pi r^2\)’den büyük olmak zorunda olurdu. Bunun imkansız olduğunu iki önceki cümlede söylemiştik. Demek ki çemberin alanı \(\pi r^2\)’den büyük olamaz. Aynı argümanı çemberin dışına çizdiğimiz çokgenleri kullanarak tekrarlarsak, çemberin alanının \(\pi r^2\)’den küçük de olamayacağını gösterebiliriz. Çemberin alanının \(\pi r^2\)’ye eşit olduğunu kanıtlamış olduk.
Alan formülüne ek olarak, Arşimet çemberin içine ve dışına çizdiği düzgün 96-genler yardımıyla \( 223/71 < \pi < 22/7 \) eşitsizliğini göstermiştir. Ahmes’in \(\pi\) sayısını \( 256/81\) olarak kabul ettiği binde altılık hata payına kıyasla Arşimet’in yaklaşımı on binde üçlük bir hata payına karşılık gelir. Fakat Arşimet’in Ahmes’ten 1000 yıl sonra doğduğunu da aklımızdan çıkarmayalım. Bir not: Geometri derslerinde sıklıkla geçen “\(\pi\)’yi 22/7 kabul ediniz.” cümlesinin yarattığı yanılgının aksine, \( 22/7=3.1429…\) sayısı ve \(\pi=3.1415…\) sayısı ilk üç hanede anlaşmakla birlikte, birbirlerine eşit değillerdir. Esasen, \(\pi\) sayısı, \( a \) ve \( b \) tamsayıları için \( a/b \) formunda yazılabilen bir sayı değildir, yani irrasyonel bir sayıdır.
Çemberi kareleştirmek
Antik geometriciler için bir şeklin alanı (veya hacmi) bir sayı olarak değil, bir eşlik olarak anlaşılıyordu: Bir çemberin alanı \( A \)’ya eşittir demek, aslında çember ile bir kenar uzunluğu \(\sqrt{A}\) olan bir kare arasında eşlik kurmak demekti. Günümüzde alanın ölçüsü olarak metrekareyi, hacmin ölçüsü olarak da metreküpü kullanmamızın sebebi de budur. Belki de bunun bir sonucu olarak, antik geometriciler şu problemi ortaya attılar: Bir çember verildiği zaman, alanı bu çemberin sınırladığı alana eşit bir kare çizebilir miyim? Alan formülü gereği, böyle bir kare vardır; bir kenar uzunluğu \(\sqrt{\pi} r\) olan karenin alanı, çemberin sınırladığı alana eşittir. Lakin gerçek hayatta bu kareyi çizip çizemeyeceğimiz, karenin var olmasından farklı bir sorudur.
Problemi biraz daha açıklayarak tekrarlayalım: Elimizde üzerinde 1’er santimetrelik aralıklar olan bir cetvel ve bir pergel olsun. Kağıtta bir nokta işaretleyip, 1 santimetre yarıçapı olan çemberi pergel yardımıyla çizelim. Sorumuz şu: Bu cetveli ve pergeli kullanarak, alanı çemberin sınırladığı alana eşit bir kare oluşturabilir miyiz? Bu probleme denk olarak şu problemi de ortaya atabiliriz: 1’er santimetrelik aralıkları olan bir cetvel ve bir pergel kullanarak, uzunluğu \( \sqrt{\pi} \) olan bir çizgi çizebilir miyiz?
Çözülmesi yaklaşık olarak 2200 yıl süren çemberi kareleştirme problemi budur. Yazımızın ilk bölümünü burada bitireceğiz ve çemberi kareleştirme probleminin çözümünü haftaya bırakacağız. Böylece geometri meraklısı okuyucuların da bu bir haftada problem üzerinde düşünmek için zamanı olur.
Kaynaklar
Kline, Morris. “Mathematical Thought from Ancient to Modern Times”, Oxford University Press, 1972.
Hoyrup, Jens. “Selected Essays on Pre- and Early Mathematical Practice”, Springer Nature Switzerland, 2019.
Vikipedi, “Squaring the Circle” maddesi. https://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_circle
Wigderson, Yuval. Eudoksus üzerine ders notları. http://web.stanford.edu/~yuvalwig/math/teaching/Eudoxus.pdf.
Hungerford, Thomas W.. “Algebra”, Springer-Verlag New York, 1974.