Bir dakikada matematik: Modüler aritmetik
Günlük yaşantımızın vazgeçilmez bir parçası olan modüler aritmetik ile tanışalım.
[BAA – Matematik/ Çevirmen: Duygu Özdemir]
Zaman hakkında düşündüğünüzde her gün birçok kez modüler aritmetik uygularsınız. Örneğin, üç saat süren bir tren yolculuğuna akşam 11.00’de çıkacağınızı hayal edin. Saat kaçta varırsınız? Saat 11+3=14’te değil, sabah saat 2’de varırsınız. Bunun nedeni 12 dilimlik bir saatte, saymaya başladığınızda 12’ye varıldığında başa dönmenizdir. (24 dilimlik bir saatte ise 24’e vardığınızda başa dönersiniz.) O halde 12 dilimlik bir saatte:
\( 4 + 9 = 1, \)
\( 7 + 7 = 2, \)
\( 5 + 12 = 5 \)
olur ve böyle devam eder. Saati eksilttiğinizde de aynı şeyi yaparsınız ama tersten:
\( 4 – 7 = 9, \)
\( 1 – 11 = 2, \)
\( 6 – 12 = 6. \)
Aynı oyunu 12 ve 24 dışında, döngüyü tanımlayacak rakamlar kullanarak oynayabilirsiniz. Örneğin, modüler aritmetikte modu 5 alırsanız:
\( 4 + 2 = 1, \)
\( 3 + 4 = 2, \)
\( 1 – 4 = 2, \)
\( 3 – 5 = 3 \)
olur. Bu hesaplamaları eğer parmaklarınızla yapıyorsanız çözmesi biraz can sıkıcı olabilir. Ama şanslıyız ki genel bir yöntem var. Diyelim ki modu \( p \) olan doğal bir sayının modüler aritmetiğini alıyorsunuz ve başka bir doğal sayı olan \( x \)’i bulmaya çalışıyorsunuz. \( p \) modunda \( x \) değerini bulmak için (\( p \) kadar dilimi olan bir saatteki \( x \)’in değeri), \( x \)’i \( p \) ile böldüğünüzde kalanı hesaplayın, bu sizin sonucunuz olacaktır.
Bu aynı zamanda \( x \) negatif olduğunda da işe yarar (hatırlatmakta fayda var; kalan her zaman pozitif tanımlanır). Örneğin \( p = 12 \) ve \( x= -3 \) için
\( -3 = (-1) \times 12 + 9 \)
olur, yani kalan 9 ‘dur. Bu nedenle 12 modunda -3, 9’a eşittir. (Eğer modulüs fonksiyonlarını bazı bilgisayar dillerinde kullanırsanız bazen negatif sayılar için farklı değerler çalıştırdığı için biraz dikkatli olmanız gerekir.)
Matematikçiler için \(p \) modunda çalışmak demek, tamsayılar kümesini denklik sınıflarına ayırmak demek. Yani iki tamsayı mod \(p \) ’de birbirine eşittir eğer p’ye bölümlerinden kalan aynı ise, ya da bir başka deyişle aynı denklik sınıfına üye iseler. Mesela, mod \(5 \)’te \(3 \) sayısının denklik sınıfı \(\ldots,\, -7,\, -2,\, 3,\, 8,\, 13,\, \ldots\) sayılarından oluşur. Dolayısıyla mod \(5 \)’te toplam 5 tane denklik sınıfımız var: \(0 \)’ın, \(1 \)’in, \(2 \)’nin, \(3 \)’ün ve \(4 \)’ün sınıfları. Çünkü bir tamsayının \(5 \)’e bölümünden kalan yalnızca bu sayılardan biri olabilir!
Eğer \( p \) doğal sayısı modunda iki sayıyı toplamak veya çıkarmak isterseniz, normal aritmetik işlemi yaparak sonucu bulun, buna \( x \) diyelim, daha sonra \( p \) modunda \( x \)’in değerini bulun.
Bölmek, tamsayılarda da olduğu gibi, her zaman mümkün değil; iki tamsayıyı bölmek istediğimizde her zaman bir tamsayı elde etmemiz mümkün değil, modüler aritmetikte de öyledir. Mesela iki rasyonel sayının birbirine bölümü her zaman bir rasyonel sayı verir. Bu şekilde bölmenin her zaman mümkün olduğu, rasyonel sayılar kümesi gibi sayı kümelerine cisim adı verilir. Bu konuda biraz daha ilerlemek isterseniz şunun ne anlama geldiği üzerine düşünebilirsiniz: \( p \) bir asal sayıysa mod \( p \)’de her sayıyı birbirine bölebilirsiniz!
Modüler aritmetikte oldukça döngüsel bir şeyler olduğu açık. Aritmetiğinizi tanımlayan \( p \) sayısı ne olursa olsun, \( p \) dilimlik saatte ileriye veya geriye doğru saydığımızı düşünebilirsiniz. Matematik diline çevirmek gerekirse, modüler aritmetikte mod \( p \), size mertebesi \( p \) olan bir döngüsel grup verir.
Kaynak
Plus Magazine, Maths in a minute: https://plus.maths.org/content/maths-minute-modular-arithmetic