Bir Dakikada Matematik: Eşit Sıcaklıklar

Zamanda verilen her bir nokta için Dünya’nın ekvatorunda aynı sıcaklığa sahip iki nokta vardır. Bunu nasıl biliyoruz?

[BAA – Matematik/ Çevirmen: Eren Şen]

Zamanda verilen her bir nokta için Dünya’nın ekvatorunda aynı sıcaklığa sahip iki nokta vardır.

Bunu nasıl biliyoruz? İşte kanıtı. Dünya’yı ekvator boyunca bölen ekvatoral düzleme bakalım. Ekvator bu düzlem içerisinde bulunan bir çemberdir ve \( (0,0) \) noktası ekvatorun merkezinde yer alacak şekilde bu düzlemde bir koordinat sistemi seçebiliriz. Ekvator çemberindeki her bir \( x \) noktası için \( x \)’e çap olarak zıt pozisyonda bulunan bir \( -x \) noktası mevcuttur.

Ekvatordaki her \( x \) noktası \( t(x) \) sıcaklığına sahiptir. Her noktaya sıcaklık atayan bu \( t \) fonksiyonunun sürekli olduğunu varsayabiliriz. Çünkü dünyada hareket ederken sıcaklık aniden yukarı ya da aşağı sıçrama yapmaz.

Şimdi şu fonksiyonu göz önüne alalım:

\( f(x)=t(x)-t(-x). \)

Bu da süreklidir.

Eğer bu fonksiyon bir \( x \) noktası için \( 0 \)’a eşit ise, o zaman işimiz bitti çünkü  

\( f\left(x\right)=t\left(x\right)-t\left(-x\right)=0 \)

olursa, o zaman

\( t(x)=t(-x) \)

olur. Yani \( x \) noktasındaki sıcaklık \( -x \) noktasındaki ile aynı olur.

Eğer \( f(x) \) herhangi bir yerde \( 0 \)’a eşit değilse, o zaman \( f(x)>0 \) olan bir \( x \) noktası olduğunu (genelliği kaybetmeden) varsayalım. Yani

\( f\left(x\right)=t\left(x\right)-t\left(-x\right)>0. \)

Bu eşitsizlik de  

\( f\left(-x\right)=t\left(-x\right)-t\left(x\right)<0 \)

eşitsizliğini gerektirir.

Ara değer teoremi olarak adlandırılan bir sonucumuz vardır ve der ki; eğer sürekli bir fonksiyon tanım kümesindeki bir noktada \( 0\)’dan büyük diğer bir noktada \( 0 \)’dan küçükse, o zaman bu iki nokta arasındaki bir noktada \( 0 \)’a eşit olmak zorundadır.

Bu nedenle, mademki \( f\left(-x\right)<0 \) ve \( f\left(x\right)>0 \), çember üzerinde \( f\left(y\right)=0 \)  olacak şekilde bir \( y\) olmalıdır. Yani,  

\( f\left(y\right)=t\left(y\right)-t\left(-y\right)=0 \)

olur, ki bu da

\( t\left(y\right)=t(-y) \)

anlamına gelir. Dolayısıyla \( y \) noktasındaki sıcaklık \( -y \) noktasındaki sıcaklık ile aynıdır.

Aslında bu sonuç, sadece ekvator için değil, Dünya üzerindeki herhangi bir çember için sağlanır. İşin doğrusu, bu Borsuk-Ulam teoreminin [1] \( 1 \)-boyutlu durumunun sonucudur. Bu teorem, çemberden reel sayılara giden sürekli herhangi bir \( t\) fonksiyonu için \( t(x)=t(-x) \) olacak şekilde bir \( x \) noktası mevcuttur, der.

Borsuk-Ulam teoreminin daha genel versiyonu ise, \( n\)-küre’den [2] \( n\)-boyutlu reel sayılar uzayına giden herhangi bir \( t \) fonksiyonu için \( t(x)=t(-x) \) eşitliğini sağlayan bir \( x \) noktası vardır, demektedir.

Kaynak:

Plus Maganize, Maths in a minute: Equal temperatures https://plus.maths.org/content/maths-minute-equal-temperatures

İleri okumalar:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Borsuk%E2%80%93Ulam_theorem

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere