Bir dakikada matematik: Döşeme problemleri
Bir duvarı, tüm düzgün çokgenler arasında yalnızca üç tanesi ile döşeyebilirsiniz: kare, eşkenar üçgen ve düzgün altıgen. Diğerleri tam olarak birbirine oturmazlar.
[BAA – Matematik/ Çevirmen: Duygu Özdemir]
Tüm düzgün çokgenler arasında yalnızca üç tanesi ile bir duvarı döşeyebilirsiniz: kare, eşkenar üçgen ve düzgün altıgen. Diğerleri tam olarak birbirine oturmazlar.
Bunu kanıtlamak oldukça kolaydır. n kenarlı bir düzgün çokgen
180n−2n
derecelik iç açılara sahiptir. Bir noktanın etrafına bir çokgenin birçok kopyasını, onlara k diyelim, tüm kenarlar buluşacak şekilde yerleştirip döşeme yapmayı denediğinizi varsayalım (aşağıdaki görsele bakabilirsiniz). O zaman k tane açının toplamı 360 derece olmalıdır. Eğer daha az eklenirse bir boşluk oluşacaktır, eğer daha fazla eklenirse çokgenin kopyaları üst üste bineceklerdir.
O halde ihtiyacımız olan
k×180n−2n=360,
bu da şu demek
k=2nn−2.
Eşitliğin sağındaki terimi tekrar yazarsak şu sonucu verir
k=4n−2+2.
k bir tam sayı olduğu için (birbirine oturtmaya çalıştığımız çokgenin kopyalarının sayısı), 4n−2 de bir tam sayı olmalıdır. Dolayısıyla n−2 yalnızca 4, 2 ve 1’e eşit olabilir. Bu da n yalnızca 6, 4 ve 3’e eşit olabilir demek.
Aynı zamanda çokgendeki bir köşenin her zaman komşu kopyanın bir köşesi ile buluşmasına gerek olmadığı ama komşu kopyanın x uzunluğundaki kenarında bazı noktalara oturduğu bir döşeme yapmak için şunu da deneyebilirsiniz. Bu komşu kopya ayrıca x’e bağlı 180 derecelik bir iç açıya sahip olacaktır ( x, kenarların birinin iç kısmında olduğunda). Bir döşeme yapmak için kalan 180 derecelik k kadar çokgen kopyasını doldurmanız gerekecektir, yani şuna ihtiyacınız olacaktır
k×180n−2n=180.
Yukarıdakine benzer bir argümanla bunun yalnızca n=3 ya da n=4 olduğunda işe yaradığına kendinizi ikna edebilirsiniz.
Kaynak:
Plus Magazine, Maths in a minute: Tiling troubles, https://plus.maths.org/content/maths-minute-tiling-troubles