Bir dakikada matematik: Boole Cebiri

[BAA – Matematik/ Çevirmen: Erman Işık]

Bilgisayarı her kullandığınızda aslında Boole mantığına dayanıyorsunuz: Bu ingiliz matematikçi George Boole’dan (1815-1864) sonra adlandırılan ve bilgisayarlardan çok önce kurulmuş bir mantık sistemi. Boole mantığında ifadeler sadece “doğru” ya da “yanlış” değerlerinden birini alabilirler (örneğin şu anda “bir fincan çay istiyorum” yanlış ama “bir parça kek istiyorum” her zaman doğru), ve bu ifadeleri VE, VEYA ve DEĞİL kelimelerini kullanarak bir araya getirebilirsiniz. Bu bileşik ifadelerin doğru olup olmadıklarını kanıtlamak için basit ifadelerin alabileceği bütün olası değerleri ve sonrasında da bütün bileşik ifadelerin değerlerini listeleyen bir doğruluk tablosu oluşturabilirsiniz.

“A VE B” nin tüm olası değerlerini gösteren doğruluk tablosu

Doğruluk tabloları basit mantıksal ifadeler için kullanışlıdır, fakat daha karmaşık ifadeler söz konusu olduğunda çabucak bezdirici ve hata yapmaya açık hale gelebilirler. Boole, ikili mantıksal işlemlerin, normalde kullandığımız aritmetik işlemlerimizle çarpıcı bir şekilde benzer davrandığını fark ederek hayatımızı kurtardı.

Bu yeni tür aritmetikte (Boole cebiri olarak isimlendiriliyor), değerler mantıksal ifadelerdir (genel olarak ya “doğru” ya da “yanlış” olan cümleler). Bu cümleler sadece iki değer alabildiklerinden, yanlış olduğunu bildiğimiz bir ifade için “0” ve doğru olduğunu bildiğimiz bir ifade için de “1” yazabiliriz. Böylece "VEYA” ’yı, 0 ve 1’lerin bir tür toplamı olarak yazabiliriz:

0 + 0 = 0 ( “yanlış” VEYA yanlış" “yanlış” olduğundan)

1 + 0 = 0 + 1 = 1 ("doğru VEYA yanlış" ve "yanlış VEYA doğru" her ikisi de “doğru” olduğundan)

1 + 1 = 1 + 1 = 1 ("doğru VEYA doğru" “doğru” olduğundan).

VE 'yi bir tür çarpma olarak yeniden yazabiliriz:

0 × 1 = 1 × 0 = 0 ("yanlış VE doğru" ve "doğru VE yanlış" ikisi de yanlış olduğundan)

0 × 0 = 0 ("yanlış VE yanlış" yanlış olduğundan)

1 × 1 = 1 ("doğru VE doğru" doğru olduğundan).

Değişkenler sadece 0 ve 1 değeri aldığından, “DEĞİL”* operatörünü de bir tür tümleyen, yani sayının karşıt değerini alması olarak tanımlayabiliriz:

A = 1 ise, A' = 0
A = 0 ise, A' = 1

A + A' = 1 ("doğru VEYA yanlış" doğru olduğundan)
A × A' = 0 ("doğru VE yanlış" doğru olduğundan).

Operatörlerimizin bu yeni versiyonu birçok bakımdan aşina olduğumuz toplama ve çarpma kavramlarına anahtar birkaç fark dışında benzerdir. Denklemlerin parçaları, çok kullanışlı olabilen Boole cebirinde kolayca kaybolabilir. Örneğin;

A + A × B

denkleminde B’nin doğruluk değeri ne olursa olsun ya da hangi mantıksal ifadeyi temsil ederse etsin önemsizdir. Böyledir çünkü, eğer A “doğru” ise (ya da denk olarak “A = 1 ” ) o zaman “A VEYA (A VE B)” ifadesi B’nin değerinin doğru ya da yanlış olmasından bağımsız olarak doğrudur. Eğer A yanlış ise ( yani “A = 0 ”), bu durumda ( A VE B ) ifadesi, B’nin değeri ne olursa olsun yanlıştır, yani A VEYA (A VE B) ifadesi yanlıştır.

Yani Boole cebiri bize terimlerin kaybolabildiği bir etki sağlar: “A + A × B” ifadesi “A” ifadesine eşittir: A + A × B = A.

Ayrıca, Boole cebirinde toplama ve çarpma arasında bir tür ters dualite vardır:

(A + B)'= A'× B' ve (A×B)'= A'+ B' ,

Bu iki eşitlik, İngiliz matematikçi Augustus de Morgan (1806-1871) sonrasında De Morgan kuralları olarak bilinir. (Bu iki ifadenin doğruluğunu “doğruluk” tablosunu kullanarak gösterebilirsiniz.)

Bunlar, Boole cebirinin karmaşık mantıksal ifadeleri basitleştirmek için kullanılan iki uygulaması- teşekkürler George!

DEĞİL A, A' olarak ifade edilir.

Kaynak:

Plus Magazine, Maths in a minute: Boolean algebra, https://plus.maths.org/content/maths-minute-boolean-algebra