Bir dakikada matematik: \( 2 \)'nin kare kökü irrasyoneldir

İşte tüm matematikteki en zarif kanıtlarından biri. Sadeliğinden zevk alın!

[BAA - Matematik/ Çevirmen: Oğuz Şavk]

İşte matematik tarihinin en zarif kanıtlarından biri. \( \sqrt{2} \)'nin irrasyonel bir sayı olduğunu, başka bir deyişle \( a\) ve \( b\)'nin tam sayı olmak üzere bir \(a/b \) kesri olarak yazılamayacağını gösteriyor.

\( \sqrt{2} \)'nin \( a/b \) kesri olarak yazılabileceğini ve \( a \) ve \( b \)' nin ortak bir böleninin olmadığını varsayarak başlarız - eğer varsa sadeleştiririz. Sembolle gösterilirse:

\( \frac{a}{b} = \sqrt{2}. \)

Her iki tarafın karesini alırsak

\( \frac{a^2}{b^2} = 2 \)

elde ederiz. Ve her iki tarafı \( b^2 \) ile çarparsak

\( a^2 = 2b^2.\)

Bu, \( a^2 \) 'nin çift sayı olduğu anlamına gelir: \(2 \)'nin bir katıdır. Şimdi eğer \( a^2 \) çift sayı ise, \( a \) da çift olur (tek bir sayının karesinin tek olduğunu kendiniz kontrol edebilirsiniz). Bu, \( a \)'nın, \( c \) başka bir tam sayı olmak üzere \( 2c \) olarak yazılabileceği anlamına gelir. Bu nedenle,

\( 2b^2 = a^2 = (2c)^2 = 4c^2. \)

\(2 \)'ye bölersek

\( b^2 = 2c^2. \)

Bu, \( b^2 \) 'nin çift olduğu anlamına gelir, bu da yine \( b\)'nin de çift olduğu. Bununla birlikte hem \( a \) hem de \( b \) çifttir, bu da ortak bir bölen içermediği varsayımıyla çelişir: eğer her ikisi de çiftse, \(2 \) ortak bölenine sahiptirler. Bu çelişki, \( \sqrt{2} \)'nin bir \( a/b \) kesri olarak yazılabileceği varsayımımızın yanlış olmasını gerektirir. Bu nedenle, \( \sqrt{2} \) irrasyoneldir.

Kaynak:

Maths in a minute: The square root of \(2 \) is irrational, https://plus.maths.org/content/maths-minute-square-root-2-irrational