Ünlü matematikçi Vaughan F. R. Jones hayatını kaybetti

Eylül 08, 2020

1984’te, von Neumann cebirleri ve geometrik topoloji arasında şaşırtıcı bir ilişki keşfeden, bunun neticesinde 1990’da Fields madalyası ile ödüllendirilen Vaughan F. R. Jones, dün gece aramızdan ayrıldı.

[BAA – Matematik/ Oğuz Şavk]

Vaughan F. R. Jones, Yeni Zelanda'nın Gisborne kentinde dünyaya geldi. Çocukluğunu Cambridge'de geçiren Jones, St. Peter İlkokulu ve Auckland Ortaokulu'nda eğitim aldı. Lisans ve yüksek lisans derecelerini sırasıyla 1972'de ve 1973'te Auckland Üniversitesi'nden elde etti. Doktora eğitimini 1979'da, İsviçre'nin Cenevre Üniversitesi'nde, André Haefliger'in danışmanlığında tamamladı.

1980'de Amerika Birleşik Devletleri'ne taşındıktan sonra Los Angeles’daki Kaliforniya Üniversitesi’nde 1980–1981 yılları arasında ve onun akabinde Pennsylvania Üniversitesi’nde 1981–1985 yılları arasında dersler verdi. Sonrasında, Berkeley’deki Kaliforniya Üniversitesi’nde matematik profesörü olarak görev yapmaya başladı.

Jones, von Neumann cebirleri için indeks teoremi üzerinde çalışmış ve Alain Connes ve diğer matematikçiler tarafından başlatılan çalışmaları sürdürmüştür. Matematiğe en dikkat çekici katkısı, bu çalışmaları esnasında, matematiğin görünüşte oldukça farklı gibi gözüken alanları arasında şaşırtıcı ilişkilere yol açan düğümler için yeni bir polinom değişmezi keşfetmesiydi. Bugün bu değişmezi Jones polinomu olarak adlandırıyoruz. Bu değişmez 1928 yılında James Alexander tarafından tanımlanan Alexander polinomundan sonraki ilk polinom değişmezidir ve düğümlere dair ondan daha çok bilgi vermektedir. Bu olağanüstü katkılarından dolayı Japonya'nın Kyoto kentinde, 1990 yılında düzenlenen Uluslararası Matematik Kongresi'nde Fields Madalyası ile ödüllendirilmiştir.

Jones, 2011'den beri Vanderbilt Üniversitesi'nde Stevenson seçkin matematik profesörü olarak görev yapmaktadır. 1985'ten beri bulunduğu Berkeley'deki California Üniversitesi'nde emekli profesör olarak yer almaya devam etmektedir ve aynı zamanda Auckland Üniversitesi'nde seçkin mezunlar profesörüdür. Beklemediğimiz bir zamanda, matematik camiasını şaşırtarak dün gece aramızdan ayrılan Vaughan F. R. Jones’u sonsuzluğa uğurluyoruz.

Yazımızın bundan sonraki kısmını onu bu ününe kavuşturan Jones polinomunu sunmak üzerine ayıracağız.

Düğümler ve Bağlar

Bir \(K\) düğümü, bir \(S^1\) çemberinin üç boyutlu birim küre \(S^3\) içine gömülmesidir.  Bir \(L\) bağı ise, \(S^3\)'teki düğümlerin kesişmeyen bir koleksiyonudur. En yaygın düğüm ve bağ şemalarını iki boyutlu düzleme aşağıdaki gibi çizebiliriz.

Şekil 1. Sırasıyla, düğümsüz (unknot), yonca düğümü (trefoil), yine yonca düğümü, şekil 8 düğümü ve son olarak onun ayna görüntüsü
Şekil 2. Sırasıyla, bağsız (unlink), Hopf bağı, Whitehead bağı ve Borromean bağı

\(K_0\) ve \(K_1\), \(S^3\) içerisinde iki düğüm olsun. Bunların birbirine denk olduklarını söylemek için \(K_0\) ve \(K_1\) düğümleri arasında bir \(S^3\)'ün bir parametreli homeomorfizm ailesini bulmamız gerekir. Bu oldukça teknik bir matematiksel tanım. Yine de şöyle açmaya çalışabiliriz: Elimizde öyle \(S^3\)’ten \(S^3\)’e bir dönüşüm ailesi olacak ki \(t=0\) anında \(S^3\)’ün birim dönüşümü olacak, her \(t \in [0,1]\) için bir homeomorfizm verecek ve son olarak \(t=1\) anında ilk düğümümüz olan \(K_0\)’ı, \(K_1 \)’ye taşıyacak.

Bu düğümler arasındaki denklik kavramı aynı zamanda bağlara genellenebilir. Bir bağ düğümlerin koleksiyonu olduğundan, yine iki bağa denk diyebilmek için, yukarıdaki ilişkinin her düğümde tekrarlanmasını isteyeceğiz.

İki düğümün ne zaman denk olduklarına Reidemeister hareketleri ile karar veriyoruz: İki düğüm aynı düğüm şemasını temsil eder ancak ve ancak aşağıda verilen üç hareketle birbiriyle ilişkilendirilir ise:

Şekil 3. Reidemeister hareketleri: bükme, iteleme ve kaydırma

Jones Polinomu

\(S^3\) içerisindeki bağlar için Jones polinomunu şemalar üzerinden tanımlamak mümkün. Bir \(L\) bağının Jones polinomu \(V_L (t)\), aşağıdaki üç aksiyoma tabi olan \(t ^ {1/2}\) ve \( t ^{-1/2}\)  değişkenlerinde bir Laurent polinomudur:

  1. İki denk link aynı Jones polinomuna sahip olacak.
  2. Düğümsüzün Jones polinomu \(1\) olacak, yani \(V_{düğümsüz}(t)=1\).
  3. Bu polinom çile (skein) ilişkisini sağlar:

\( t^{-1} V_{L_+}(t) - tV_{L_-}(t) = ( t^{1/2} + t^{-1/2} )V_{L_0}(t) \)

Şekil 4. Çile ilişkilerinin şemaları

Şimdi yukarıda bahsettiğimiz kimi düğümlerin ve bağların Jones polinomlarını hesaplayalım.

Şekil 5. Bağsız için çile ilişkileri

\(L_+\) ve \(L_-\) düğümsüze denk (Reidemeister 1 hareketini uygulayarak görebilirsiniz) olduğu için ve \(L_0\) da bağsıza denk olduğu için, aşağıdaki denklemi elde ederiz:

\( (t^{1/2}+ t^{-1/2} )V_{L_0}(t) = t^{-1} V_{L_+}(t) - tV_{L_-}(t) = t^{-1} - t \)

Dolayısıyla, \(V_{bağsız}(t) = - ( t^{-1/2} + t^{1/2} ) \).

Şekil 6. Hopf bağı için çile ilişkileri

Bu durumda \(L_-\) bağsıza denk (Reidemeister 2) ve \(L_0\) düğümsüze denk (Reidemeister 1) olduğu için, aşağıdaki eşitliği buluruz:

\(t^{1/2} + t^{-1/2}  = t^{-1} V_{Hopf}(t) + t \left ( t^{-1/2} + t^{1/2} \right ) \)

Sadeleştirirsek, \(V_{Hopf}(t) = -( t^{5/2} + t^{1/2} )\) elde ederiz.

Şekil 7. Yonca düğümü için çile ilişkileri

Yine \(L_-\)’nin düğümsüze (iki kez Reidemeister 2) denk ve \(L_0\)’ın Hopf bağına denk olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla bu sefer çile ilişkisi aşağıdaki gibi sağlanır:

\( ( t^{1/2} + t^{-1/2}) (- t^{5/2} - t^{1/2} )   = t^{-1} V_{3_1}(t) - t \)

Az önceki hesaplarımızından da yararlanarak \( V_{yonca}(t) = - t^4 + t^3 + t \) buluruz.

Şekil 8. Şekil 8 düğümü için çile ilişkileri

Son olarak şekil 8 düğümünün Jones polinomunu hesaplayalım. Hızlıca \(L_+\)’nın düğümsüze denk (Reidemeister 1 ve 2) ve \(L_0\)’ın Hopf bağına denk (Reidemeister 1) olduğunu gözlemleyebiliriz. Benzer biçimde aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

\(V_{şekil \ 8}(t) = t^{-2}-t^{-1}+ 1-t+ t^2 \).

Jones Polinomu ve Fizik

Jones polinomu sadece matematiğin topoloji alanıyla analiz ve cebir alanları arasında ilişkiler kurmakla kalmamış aynı zamanda çeşitli fizik teorilerinin anlaşılmasında katkılar sunmuştur. Bu noktada Joan Birman'ın Jones’un çalışmalarını irdeleyen, Uluslararası Matematik Kongresi konuşmasının metnine ve Edward Witten’ın Jones polinomu ile kuantum alanlar kuramının ilişkisini tarifleyen meşhur makalesine göz atılabilir.

Kaynaklar

  • Jones, Vaughan F.R. "A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras." Fields Medallists' Lectures. 1997. 448-458.
  • Şavk, Oğuz. Knot Theory, Matematiğin Peşinde. Sept 2, 2020. Slides. Video.
  • Witten, Edward. "Quantum field theory and the Jones polynomial." Communications in Mathematical Physics 121.3 (1989): 351-399.