Evrenimizin Geometrisi Nedir?

Aklımız bize evrenin sonsuza kadar uzandığını söylemekte. Lakin geometrik bir inceleme ile “sıradan” sonsuz uzaylara alternatifler sunan çeşitli üç boyutlu cisimleri keşfedebiliriz.

[BAA – Matematik/ Çeviri: Bahadır Batur]

Aklımız bize evrenin sonsuza kadar uzandığını söylemekte. Lakin geometrik bir inceleme ile “sıradan” sonsuz uzaylara alternatifler sunan çeşitli üç boyutlu cisimleri keşfedebiliriz. Makale kısaca, üç farklı geometri üzerinden (düzlem, küresel ve hiperbolik geometri) basit modellerle gözlemleyebildiğimiz ve gözlemleyemediğimiz evrenin modellerini tartışmaktadır. Bu yazının değerli olduğu bir diğer nokta ise sadece evrenimizin geometrisi üzerine değil, farklı geometrilerin nitelikleri üzerine de açıklayıcı olmasıdır. Alt metninde ise son dönemlerde salgın bir hastalık gibi tekrar ortaya çıkan düz-dünyacıların savlarının geçersizliğini görebilirsiniz. Çevirisini sunduğumuz bu popüler bilim makalesi, Erica Klarreich ve Lucy Reading-Ikkanda tarafından Quanta Magazine’de 16 Mart 2020 tarihinde yayınlanmıştır.

Gece gökyüzüne baktığımız vakit, uzay her yönden sonsuza dek uzanıyor gibi gözükmektedir. Bu bakış açısı bizim evrene dair zihinsel bir modellememizdir, ancak tamamen doğru değildir. Nihayetinde, herkesin Dünya’nın düz olduğunu düşündüğü bir zaman vardı, bunun nedeni gezegenimizin eğriliğinin (curvature) tespit edilemeyecek kadar küçük olması ve küre biçiminde bir dünyanın [o zaman için] anlaşılmazlığıdır.

Bugün, Dünya’nın şeklinin bir küreye benzediğini biliyoruz. Fakat birçoğumuz evrenin şekli üzerine çok az düşünmekte. Küre biçiminde bir dünya, düz dünyanın bir alternatifi olduğu gibi diğer üç boyutlu şekiller de “sıradan” sonsuz uzayların alternatifi olabilir.

Evrenin şekli üzerine, ayrı gibi duran ama birbirleriyle ilişkili olan iki soru sorabiliriz. Bunlardan birisi geometri ile ilgili: açılar ve alanlar gibi yapıların incelikli yerel (local) ölçümleri. Diğeri soru ise topoloji ile alakalı: bu yerel (local) parçaların nasıl olup da kapsayıcı bir şekil içerisinde bir araya getirebileceği.

Kozmolojik kanıtlar evrenin görebildiğimiz kısmının, hemen hemen, pürüzsüz (smooth) ve homojen (homogeneous) olduğunu söylemektedir. Uzayın yerel dokusu (local fabric) da her noktada ve yönde benzer görünmekte. Sadece üç farklı geometri bu tanımlamaya uygun düşmektedir: düzlem geometrisi, küresel geometri ve hiperbolik geometri. Bu noktada, bazı topolojik sorgulamalarla birlikte, bu üç geometriye ve kosmolojik kanıtların hangi yapıların evrenimizi daha iyi tanımladığına bakalım.

Düzlem Geometrisi

Düzlem geometrisi, okullarda öğrendiğimiz geometridir. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir [Şekil 1] ve dairenin alanı πr²’dir [r, dairenin yarıçapı – daire içerisinde çizilebilecek en uzun doğru parçasının yarısı]. Üç boyutlu düzleme örnek sıradan sonsuz uzaydır – matematikçiler bu yapıya Öklid uzayı (Euclidean space) demektedir – ancak dikkate alınması gereken başka düz şekiller de vardır.

Bu şekilleri görselleştirmek zor olmakla beraber, üç yerine iki boyut üzerinden düşünerek sezgisel olarak inşa edebiliriz. Alıştığımız Öklid uzayına ek olarak, düzlemin bazı parçalarını kesip kenarlarından ekleyerek başka düzlemsel şekiller oluşturabiliriz. Misal, dörtgen şeklinde bir kâğıt parçası kesip karşılıklı kenarlarından birleştirelim. Üst ve alt kenarlarını birleştirerek bir silindir oluşturabiliriz [Şekil 2]:

Daha sonra, sağ ve sol kenarlarını birleştirerek bir simit (doughnut) oluşturabiliriz (matematikçiler bu şekle torusadını vermekte) [Şekil 3]:

Şimdi, “Bence, bu şekil düz değil.” diye düşünebilirsiniz. Evet, haklısınız… Düzlemsel torusun nasıl oluştuğunu tarif ederken küçük bir hile yaptık. Bir parça kâğıttan tarif ettiğimiz şekilde bir torus yapmaya çalıştığınızda zorluklarla karşılaşmış olabilirsiniz. Silindir yapmak kolay olabilir, lakin silindirin köşelerini birleştirmek işe yaramaz: Kâğıt torusun iç çemberi içeriye doğru bükülecek ve dış çemberi boyunca yeterince gerilmeyecektir. Kâğıt yerine daha esnek bir materyal kullanmanız gerekmekte. Ancak bu germe işlemi uzunluklar ve açıları bozacak, geometriyi değiştirecektir.

Sıradan üç boyutlu uzay içerisinde düzlem geometrisini bozmadan düz bir materyalden yapılan gerçek, pürüzsüz (smooth) fiziksel bir torus yapmanın bir yolu yoktur. Ancak düz bir torusun içerisinde yaşamanın nasıl bir şey olduğunu soyut olarak düşünebiliriz.

Yaşadığı evren düz bir torus olan iki boyutlu bir varlık olduğunuzu hayal edin. Bu evrenin geometrisi bir parça düz kâğıttan meydana geldiği için, tüm geometrik olgular alışılagelmiş yaşantınızla aynı olacaktır, en azından küçük ölçekte: Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir ve bunun gibi. Lakin evrensel topolojide kesip yapıştırarak yaptığımız değişiklikler torusta yaşama deneyiminin normalden farklı hissettirmesine yol açacaktır.

Yeni başlayanlarımız için, torus üzerinde devam eden ve başladığı yere dönen düz yollar vardır [Şekil 4]:

Bu yollar bozulmuş torusumuz üzerinde kavisli görünür, ama düz torus sakinleri bunların düz olarak hissedeceklerdir. Işık, düz bir rotada ilerlediğinden dolayı bu yollardan birinden düz olarak baktığınızda kendi arkanızı görebilirsiniz [Şekil 5]:

Özgün kâğıt parçası üzerinde, gördüğümüz ışık kâğıdın sol tarafına çarpana kadar arka tarafınızdan hareket ediyormuş gibi görünür, sonra sağ tarafta tekrardan belirir, sanki bir bilgisayar oyunu oynuyormuşçasına [Şekil 6]:

Bu düşünceye paralel olarak, eğer siz (ya da bir ışık parçası) dört kenardan birine hareket ederse, yeni bir “oda” gibi görünen aslında biraz önce bulunduğunuz odanın kendisine varırsınız, sadece yeni bir bakış yerdeymiş gibi hissedeceksiniz. Bu evrende dolaşırken asıl odanızın sonsuz uzunlukta bir kopya dizisinden geçeceksiniz [Şekil 7].

Ayrıca bu durum farklı yönlerden bakarak kendinizin sonsuz sayıda kopyasını görebileceğiniz anlamına gelmektedir [Şekil 8]. Bu bir ayna yansıması efektidir, tek fark kopyalarınızın yansıma olmamasıdır:

Simit üzerinde, ışığın sizden çıkıp size geri döneceği farklı döngülere karşı gelmektedir [Şekil 9]:

Benzer bir şekilde, bir küpün veya başka bir kutunun karşıt yüzlerini yapıştırarak üç boyutlu düz torus inşa edebilirsiniz. Bu uzayı, sıradan sonsuz uzay gibi görselleştiremiyoruz – kısaca, uyuşmamaktalar – fakat soyut bir şekilde içindeki yaşamı hayal edebiliriz.

İki boyutlu torus içerisindeki yaşam, özdeş olan sonsuz sayıda dörtgen odalar serisinde yaşamaya benzediği gibi üç boyutlu torus içerisindeki yaşam sonsuz sayıda özdeş kübik odanın içinde yaşamaya benzer [Şekil 10]. Kendinizin sonsuz sayıda kopyasını görebilirsiniz:

Üç boyutlu torus, 10 farklı düzlemsel sonlu dünyadan biridir. Ayrıca sonsuz bir silindirin üç boyutlu analoğuna benzer sonsuz sayıda düzlemsel sonsuz dünya mevcuttur. Bu dünyaların her birinde farklı ayna efekti dizileri bulunmaktadır.

Evrenimiz Bu Düzlemsel Şekillerden Birisi Midir?

Uzaya baktığımız zaman, kendimizin sonsuz sayıda kopyasını görememekteyiz. Yine de düzlemsel şekilleri göz ardı etmemiz beklediğinizden daha zordur. Öncelikle Öklid uzayı ile aynı yerel geometriye sahiplerdir, bu nedenle hiçbir yerel (local) ölçüm ile ayrım yapılamamaktadır.

Eğer kendinizin bir kopyasını görürseniz, bu uzak görüntü sizin (diğer bir örnek olarak, galaksinizin) geçmişte nasıl göründüğünüzü gösterir, bunun nedeni ışığın size ulaşması için uzun süre seyahat edecek olmasıdır. Belki de dışarıda, gökyüzünde, kendimizin tanınmaz kopyalarını görmekteyiz. Daha da kötüsü, kendinizin farklı kopyaları sizden farklı uzaklıklarda olacaktır, dolayısıyla bunların birçoğu birbirinden farklı gözükecektir. Belki de göremeyeceğimiz kadar uzakta bulunmaktalar.

Bu zorlukların üstesinden gelebilmek için gökbilimciler kendi kopyalarımıza bakmak yerine en uzak yerlerdeki tekrarlara bakmaktadırlar: kozmik mikrodalga arkaplanı (CMB – cosmic microwave background) [1] ışınımı (radiation) Büyük Patlama’dan (the Big Bang) hemen sonra ortaya çıkmıştır. Uygulamada bu, CMB üzerinden sıcak ve soğuk noktaların eşlendiği daire çiftlerini araştırmak anlamına gelmektedir ve bu da iki farklı yönden görünen aynı daireler olduğu anlamına geliyor [Şekil 11].

2015 yılında gökbilimciler Planck Uzay Teleskobu üzerinden gelen verilerle böyle bir araştırma gerçekleştirdiler. [2] Eşleşen dairelerden gelen verileri tarayarak üç boyutlu torus veya levha (slab) da denilen diğer bir düz üç boyutlu yapının içini gözlemleyeceklerini düşündüler, ancak bunları gözlemekte başarısız oldular. Bu demektir ki, eğer bir torusun içinde yaşıyorsak bu torus o kadar büyüktür ki, tekrarlanan desenler gözlemlenebilir evrenin de ötesinde bulunmaktadır.

Küresel Geometri

Bir topun, portakalın, Dünya’nın yüzeyi gibi iki boyutlu kürelere her birimiz aşinayız. Peki evrenimizin üç boyutlu bir küre olması ne demektir?

Üç boyutlu küreyi hayal etmek zordur, lakin bunu basit bir benzerlik üzerinden tanımlayabiliriz. İki boyutlu küre, sıradan üç boyutlu uzay içerisindeki bir merkezden aynı uzaklıkta bulunan noktalar kümesi olduğuna göre, üç boyutlu küre (ya da “üç-küre”) de dört boyutlu uzay içerisindeki bir merkezden aynı uzaklıkta bulunan noktalar kümesidir.

Üç-küre üzerindeki yaşam düz uzaydaki yaşamdan bayağı farklı hissettirir. Bunu anlayabilmek için iki boyutlu bir küre üzerinde yaşayan iki boyutlu bir canlı olduğunuzu hayal edelim. İki boyutlu küremiz tüm evreni oluşturur – etrafımımızı saran üç boyutlu uzayı ne görebiliriz ne de bir erişimimiz vardır. Bu küresel evrende, ışık mümkün olan en kısa yollar üzerinden seyahat etmektedir: büyük çemberler (the great circles). Sizin için bu büyük çemberler düz doğrular gibi görünür [Şekil 12].

Şimdi farz edelim ki siz ve iki boyutlu bir arkadaşınız Kuzey Kutbu’nda takılıyorsunuz ve arkadaşınız yürüyüşe çıkıyor. Arkadaşınız uzaklaştıkça, ilk başlarda aynı gerçek dünyamızda olduğu gibi görüş ufkumuzdan (görsel daire) daha küçük görünmeye başlayacak (her ne kadar alıştığımız kadar hızlı küçülmeyecek olmasına rağmen). Bunun nedeni sizin görüş ufkunuz büyüdükçe arkadaşınızın daha küçük bir yüzdede alan kaplayacak olması [Şekil 13]:

Arkadaşınız Güney Kutbu’ndan 10 feet (yaklaşık olarak 3,05 m) uzaklıkta olduğunda, sanki sizden 10 feet uzaklıktaymış gibi görünür [Şekil 14]:

Ve Güney Kutbu’na ulaştığında, her bir yönden onu görebilirsiniz, böylece tüm görsel ufkunuzu dolduruyor olacaktır [Şekil 15]:

Eğer Güney Kutbu’nda kimse yoksa, görsel ufkunuz daha bir garip olacaktır: kendinizi göreceksiniz. Bunun nedeni sizden çıkan ışığın kürenin her bir tarafından size doğru geri dönmesidir.

Üç boyutlu küre içerisinde bir yaşam direkt olarak bu şekilde gerçekleşir. Üç-küre üzerinde her bir noktanın karşılık geldiği zıt bir nokta vardır ve eğer karşıt noktasında bir nesne bulunuyorsa bunu, sanki gökyüzüymüşçesine, bütün bir fon olarak görebiliriz. Eğer bir şey yoksa, bunun yerine, kendimizi bir fon olarak görürüz, sanki vücudumuz bir balonun üzerine yapıştırılıp, daha sonra balon içeriye döndürülmüş ve tüm ufku kaplayacak şekilde şişirilmiş gibi [Şekil 16].

Üç-küre küresel geometri için temel bir model olsa dahi bu elimizdeki tek uzay değildir. Aynı Öklid uzayından bir parça kesip birbirlerine yapıştırarak oluşturduğumuz düz uzaylar gibi üç-küreden uygun bir parça kesip yapıştırarak küresel uzaylar inşa edebilir. Bu yapıştırılmış şekillerin her birinde torusta olduğu gibi ayna etkisi gözlemlenecektir, ancak bu küresel şekillerde sadece sonlu sayıda oda içerisinde gezinebiliriz.

Evrenimiz Küresel Mi?

Aramızdaki en narsistik kişi bile tüm gece boyunca kendisini gökyüzünün fonu olarak görmemektedir. Fakat düz torusta olduğu gibi, bu fenomeni görmüyor olmamız var olamayacağı anlamına gelmemektedir. Küresel evrenin çevresi gözlemlenebilir olan evrenin boyutundan çok daha büyük olabilir ve bu da fonun göremeyeceğimiz kadar uzakta olduğu anlamına gelebilir.

Torusun aksine, tamamen yerel düzeydeki ölçümler küresel evreni tespit etmemizi sağlayabilir. Küresel şekiller sonsuz Öklid uzaylarından sadece genel topolojileri ile farklılık göstermezler, ayrıca incelikli geometrileri arasında da farklılıklar vardır. Örneğin, küresel geometride düz doğrular büyük çemberler oluşturduğundan üçgenler de Öklidyen karşılıklarından daha tombuldurlar, iç açıları toplamı 180 dereceden fazla olacaktır [Şekil 17]:

Aslında kosmik üçgenleri ölçmek, evrenin kavisli olup olmadığını ölçmek için kozmologların ilk başvurdukları yoldur. Kozmik mikrodalga arkaplanı (CMB) üzerindeki her bir sıcak ve soğuk nokta için, bu noktaların çapı ve Dünya’dan uzaklığı bilinmektedir, bunlar da üçgenin üç köşesini oluşturur. Üçgenin iç açılarından birinin gece gökyüzünde oluşturduğu açıyı ölçebiliriz. Sonrasında kenar uzunlukları ve açıların kombinasyonu üzerinden düzlemsel, küresel veya hiperbolik geometriye (hiperbolik olma durumunda üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olacaktır) uygun olup olmadığını kontrol edebiliriz.

Buna benzer testlerin ve diğer eğrilik ölçümlerinin sonucunda evrenimizin düz ya da düze çok yakın bir yapıda olduğu görülmüştür. Bununla birlikte, bir araştırma ekibi 2018 yılında Planck Uzay Teleskobu’ndan gelen veriler ile evrenimizin yapısını küresel bir geometri ile açıklayabileceklerini iddia ettiler [3]; buna karşın, bu iddialarına diğer araştırmacılar, buldukları sonuçların istatistiki bir şans/hata eseri ortaya çıktığını savundular.

Hiperbolik Geometri

Kendi içinde kavislenen kürenin aksine, hiperbolik geometri dışa doğru bükülür. Disket şapkaların, mercan resiflerinin ve eyerlerin geometrisidir hiperbolik geometri. Hiperbolik geometrinin temel modeli, aynı Öklidyen uzayda olduğu gibi, sonsuz bir genişliktir. Lakin hiperbolik geometri, dışarıya doğru, düzlem geometrisinden daha hızlı büyüdüğü için geometriyi bozmadan sıradan Öklid uzayı içine iki boyutlu hiperbolik düzlemi yerleştirmenin yolu yoktur. Örneğin, Poincaré diski olarak da bilinen aşağıdaki şekilde [Şekil 18] hiperbolik düzlemin bozulmuş görüntüsünü görebilirsiniz:

Bizim perspektifimizden, çemberin kenarına daha yakın olan üçgenler merkeze yakın olan üçgenlerden daha büyük gibi görünmekte, ancak hiperbolik geometrinin perspektifinden baktığımızda tüm üçgenler aynı boyuttadır. Eğer üçgenlerin boyutlarını aynı olarak görmeye çalışırsak – belki de diskimiz için daha esnek malzeme kullanır ve merkezden dışarıya doğru hareket ederek her üçgeni biraz şişirirsek – diskimiz bir disket şapkaya benzemeye başlar ve dışa doğru açılırken daha çok bükülür. Sınıra doğru yakınsadıkça bu bükülme kontrolden çıkacaktır.

Hiperbolik geometri açısından, sınır çemberi herhangi bir iç noktadan sonsuz mesafededir, bunun nedeni oraya ulaşabilmeniz için sonsuz sayıda üçgen ile karşılaşmanız gerekmesidir. Dolayısıyla aynı Öklidyen düzlem gibi hiperbolik düzlem de her yönde sonsuza uzanır. Fakat yerel geometri açısından hiperbolik düzlem üzerindeki yaşam alışık olduğumuzdan çok farklıdır.

Alışılagelmiş Öklid geometrisinde, bir dairenin çevresi ile çapı arasında doğrudan bir oran vardır; lakin hiperbolik geometride dairenin çevresi, yarıçapı ile karşılaştırıldığında üstel (exponential) olarak büyür. Hiperbolik çemberin kenarına yaklaştıkça bu üçgen yığınının üstel yığılımını gözlemleyebiliriz [Şekil 19].

Bu özelliğinden dolayı, matematikçiler hiperbolik uzay içerisinde kaybolmanın kolay olduğunu söylerler. Alıştığımız Öklid uzayında bir arkadaşınız sizden uzaklaşmaya başladığında daha küçük görünmeye başlar; ancak bu yavaş bir şekilde olur, çünkü görüş ufkunuz çok hızlı büyümez. Hiperbolik uzayda ise görüş ufkunuz üstel olarak büyür, bu yüzden arkadaşınız üstel olarak küçülen bir benek gibi görünecektir. Arkadaşınızın ilerlediği yolu dikkatlice takip etmezseniz ona ulaşmak için yolunuzu bulmanız imkânsız hale gelecektir [Şekil 20].

Hiperbolik geometride üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür – örneğin Poincaré diskini döşerken kullandığımız üçgenlerin iç açıları toplamı 165 derecedir [Şekil 21]:

Bu üçgenlerin kenarları, bize, düz olarak görünmemektedir, zira hiperbolik geometriye yanlış gözlüklerle bakmaktayız. Poincaré diskinin sakinlerince bu eğriler düz doğrulardır, çünkü A noktasından B noktasına varmanın en hızlı yolu merkeze doğru bir kestirme olacaktır [Şekil 22]:

Poincaré diski ile kurabileceğimiz üç boyutlu doğal bir analoji mevcuttur – basitçe üç boyutlu bir top alalım ve içini üç boyutlu şekillerle dolduralım, Poincaré diskindeki üçgenlere benzeyecek şekilde topun sınırlarına yaklaştıkça daha küçük şekiller kullanalım. Düzlemsel ve küresel geometrilerde de olduğu gibi, üç boyutlu hiperbolik topların yüzlerinden kesip yapıştırarak, diğer üç boyutlu hiperbolik uzayları çeşitlendirebiliriz.

Evrenimiz Hiperbolik Mi?

Dar üçgenleri ve üstel büyüyen daireleriyle hiperbolik geometri, içinde yaşadığımız uzayın geometrisine uyuyormuş gibi hissettirmiyor. Gerçekten de daha önce de bahsettiğimiz gibi, kosmolojik gözlemlerin birçoğu düz bir evreni işaret ediyor gibi.

Amma velakin küresel veyahut hiperbolik bir evrende yaşama olasılığımızı göz ardı edemeyiz, çünkü küçük parçalar üzerinden baktığımızda her ikisi de neredeyse düz gibi görünmektedir. Örneğin, küresel geometrideki küçük üçgenlerin iç açıları toplamı 180 dereceden biraz fazlayken hiperbolik geometrideki küçük üçgenlerin iç açıları toplamı 180 dereceden çok az da olsa küçüktür.

Bu yüzdendir ki erken dönemlerde insanlar Dünya’nın düz olduğunu düşündüler – gözlemleyebildikleri ölçülerde dünyanın eğriliği tespit edilemeyecek kadar küçüktü. Küresel veya hiperbolik şekil büyüdükçe her bir küçük parçası o kadar düzdür ki evrenimiz aşırı derecede büyük küresel veya hiperbolik bir yapıdaysa, gözlemleyebildiğimiz kısmının eğriliği ancak ve ancak henüz icat etmediğimiz olağanüstü hassas aletlerle tespit edilebilecektir ve şu anda bize de bir o kadar düz görünecektir.

Çevirmen: Bahadır Batur, mathbatur@gmail.com

Yazar: Erica Klarreich

Grafik Editörü: Lucy Reading-Ikkanda/ Quanta Magazine

Kaynak: Quanta Magazine, What Is the Geometry of the Universe?, 16 Mart 2020, https://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-20200316/

Dipnotlar

[1] Charlie Wood (28 Ocak 2020), How Ancient Light Reveals the Universe’s Contents, Quanta Magazine https://www.quantamagazine.org/how-the-cosmic-microwave-background-reveals-the-universes-contents-20200128/

[2] Planck Collaboration (2016), Planck 2015 results. XVIII. Background geometry and topology of the Universe, As tronomy & Astrophysics https://arxiv.org/abs/1502.01593

[3] Natalie Wolchover (4 Kasım 2019), What Shape Is the Universe? A New Study Suggests We’ve Got It All Wrong, Quanta Magazine https://www.quantamagazine.org/what-shape-is-the-universe-closed-or-flat-20191104/