Çemberi kareleştirmek: Antik bir geometri problemi

İki haftalık bu yazı dizimizin ikinci bölümünde çözümü 2200 yıl süren “Çemberi Kareleştirme” probleminden bahsetmeye devam ediyoruz.

[BAA - Matematik]

Geçtiğimiz hafta çözülmesi 2200 yıl süren çemberi kareleştirme problemini tanıtmıştık. Okuyucuların hatırlayacağı üzere, çemberi kareleştirme problemi, cetvel ve pergel kullanarak verilen bir çember ile aynı alana sahip bir kareyi oluşturma problemiydi. Problemi, cebire indirgeyerek çözmeye çalışacağız.

İnşa edilebilen sayılar

Çemberi kareleştirme probleminin, cetvel ve pergel yardımıyla uzunluğu \(\sqrt{\pi}r\) olan bir çizgi çizme problemine denk olduğunu söylemiştik. Problemi bu denkliği kullanarak çözeceğiz.

Önce inşa edilebilen sayıları tanımlayalım. Elimizde 1’er birim aralıkları olan bir cetvel ve bir pergel olsun. Uzunluğu \(x\) birim olan bir çizgiyi kağıt üzerinde cetvel ve pergel yardımıyla çizebiliyorsak, \(x\) sayısına inşa edilebilir sayı diyoruz. 1 sayısının inşa edilebilir olduğu açıktır çünkü sadece cetveli kullanarak 1 birim uzunluğundaki çizgiyi çizebilirim. Benzer şekilde 2,3,4,… doğal sayıları da inşa edilebilir sayılardır. 0 sayısının inşa edilebilir olduğuna da kolaylıkla ikna olmalıyız. Uzunluğu 0 olan bir çizgiyi çizebiliriz, üstelik cetvele, pergele hatta kaleme bile ihtiyaç duymayız. Peki 0,1,2,3,4… doğal sayılarından başka inşa edilebilen bir sayı var mıdır? Cevap evet. Örneğin \(\sqrt{3}\) sayısı da inşa edilebilir bir sayıdır:

Uzunluğu bir birim olan doğru parçası ile başla. Pergel yardımıyla merkezleri sırasıyla doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktaları olan 1 yarıçap uzunluğundaki çemberleri çiz. Çemberlerin kesişim noktalarını cetvel yardımıyla birleştir. Oluşan doğru parçasının (son şekildeki kırmızı çizgi) uzunluğu \(\sqrt{3}\)’e eşittir.

Geometri ile ilgili okuyucu \(\sqrt{2}\)’nin de inşa edilebilir olduğunu göstermeye çalışabilir. İpucu verelim. Yapılması gereken, 1 birim uzunluğunda bir doğru parçası verildiğinde bir kenarı bu doğru parçası olan bir karenin cetvel ve pergel yardımıyla çizilebileceğini göstermektir. Bu halde karenin karşılıklı köşeleri arasında uzaklık \(\sqrt{2}\)’ye eşit olur (karenin köşegeninin uzunluğu). Bir alıştırma daha verelim. Okuyucu, \(x\) ve \(y\) sayıları inşa edilebilir ise, \(x+y\), \(x-y\) (eğer x y’den büyükse), \(x\times y\), \(x/y\) (y 0’a eşit değilse) ve \(\sqrt{x}\) sayılarının da inşa edilebilir olduğunu gösterebilir. İlkokul ve liseden bildiğimiz üçgen benzerlikleri teoremlerini kullanmak bu sayıların inşa edilebilir olduğunu göstermek için yeterlidir.

Problemin çözüm(süzlüğ)ü

İnşa edilebilir sayıların diline çevirecek olursak, çemberi kareleştirme problemi, \( \sqrt{\pi} \) sayısının inşa edilebilir olup olmadığı sorusuna denktir. Bir önceki bölümde elimizeki inşa edilebilir sayılardan yeni inşa edilebilir sayılar elde etmenin bir yolunu verdik: \(x\) ve \(y\) inşa edilebilir ise, \(x+y, x-y, x\times y, x/y\) ve \(\sqrt{x}\) de inşa edilebilirdir. İnşa edilebilir sayılar teoremi, bütün inşa edilebilir sayıların bu yolla elde edilebileceğini söyler:
İnşa Edilebilir Sayılar Teoremi: Bir reel sayı \(x\)’in inşa edilebilir sayı olmasının gerek ve yeter koşulu, x’in rasyonel sayılardan toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök alma işlemlerini ard arda sonlu kere uygulayarak elde edilebiliyor olmasıdır.

Teoreme bir örnek olarak şu sayıyı verelim:

\(x = \frac{\frac{2}{3\sqrt{7/10}}+3\sqrt{103}}{\sqrt(\sqrt{10}+4)}\)
Bu sayı, sonlu adımda bahsedilen işlemlerin ard arda uygulanması ile elde edilebileceği için inşa edilebilir bir sayıdır (tabii ki düzlemde cetvel ve pergel yardımıyla bu uzunluğu işaretlemek çok zahmetli olabilir).

Yukarıdaki teoremin bir sonucu şudur: İnşa edilebilir sayılar, derecesi bir \(n\) için \(2^n\)’e eşit olan, rasyonel katsayılı bir polinomun kökü olarak yazılabilir. Örneğin \(\sqrt{2}\) sayısı, \(x^2-2=0\) denkleminin çözümüdür. Benzer şekilde \(\sqrt{3}\) sayısı da \(x^2-3=0\) denkleminin bir çözümüdür. Meraklı okuyucu, yine bir inşa edilebilir sayı olan \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) sayısının \(x^4-10x^2+1=0\) denkleminin bir çözümü olduğunu gösterebilir. Karşı örnek olarak \(\sqrt[3]{2}\) sayısını verebiliriz. Bu sayı \(x^3-2=0 \) denklemini sağlar ve üstelik \(\sqrt[3]{2}\) sayısının sağladığı bütün denklemler, \(x^3-2=0\) denkleminin bir katı olmak zorundadır. Haliyle bu sayının sağladığı bütün denklemlerin derecesi 3’e bölünmek zorundadır. İnşa edilebilir sayılar derecesi 2’nin bir kuvveti olan denklemleri sağladıkları için, \(\sqrt[3]{2}\) sayısının inşa edilebilir olmadığı çıkarımına ulaşıyoruz.

İnşa edilebilir sayıların rasyonel katsayılı polinomların kökleri olarak yazılabileceğini gösterdik. Sonradan 19 ve 20. yüzyılın en önemli matematikçisi olacak David Hilbert’in doktora hocası olan Ferdinand von Lindemann (1852-1939), 1882 yılında \(\pi\) sayısının (ve haliyle \(\sqrt{\pi}\) sayısının) rasyonel katsayılı bir denklemin çözümü olarak yazılamayacağını kanıtladı. Okuyucu “Ama \(\pi\) sayısı \(x-\pi=0\) denkleminin çözümü değil mi?” diye sorabilir. \(\pi\) bu denklemin çözümüdür lakin \(\pi\) sayısı rasyonel bir sayı olmadığı için \(x-\pi=0\) sayısı rasyonel katsayılı bir denklem değildir. Lindemann’ın teoreminin bir sonucu olarak çemberi kareleştirme probleminin çözümü yoktur, yani imkansızdır.

Kaynaklar

Kline, Morris. “Mathematical Thought from Ancient to Modern Times”, Oxford University Press, 1972
Hoyrup, Jens. “Selected Essays on Pre- and Early Mathematical Practice”, Springer Nature Switzerland, 2019
Vikipedi, “Squaring the Circle” maddesi. https://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_circle
Wigderson, Yuval. Eudoksus üzerine ders notları. http://web.stanford.edu/~yuvalwig/math/teaching/Eudoxus.pdf
Hungerford, Thomas W.. “Algebra”, Springer-Verlag New York, 1974