Bir dakikada matematik: Sonsuz büyüklükler

Sonsuz sayıda elemanı olan kümelerin büyüklüklerini nasıl karşılaştırabiliriz?

[BAA – Matematik]

Eğer sonsuz elemanlı bir kümenin elemanlarıyla doğal sayılar kümesi arasında birebir eşleme kurabiliyor isek bu kümeye “sayılabilir sonsuz” diyoruz. Mesela, içinde sonsuz tane elma olan bir çanta sayılabilir sonsuzlukta olur, çünkü elmaları 1, 2, 3, … sayılarıyla etiketleyebiliriz. Bu işlem için sonsuz zaman gerekmesi bir sorun değil. Yani sayma işlemini zaman içerisinde gerçekleşen bir eylem gibi değil, zamandan bağımsız mantıksal bir kural olarak ele alıyoruz.

İki tane sonsuz elemanlı küme aldığımızda birinin diğerinden büyük olup olmaması nasıl tanımlanabilir? Bir önceki paragraftaki tanımlamaya çalıştığımız gibi, iki tane “sayılabilir sonsuzlukta” küme alalım. Matematikçiler için bu iki küme aynı büyüklüktedir, çünkü her bir kümenin elemanlarıyla doğal sayılar kümesinin elemanları arasında birebir eşleme kurabiliyoruz. Bir başka deyişle, her iki kümenin elemanlarını 1, 2, 3, … sayılarıyla etiketleyebiliriz. Dolayısıyla aynı sayıyla etiketlenmiş elemanları birbirleriyle eşleyerek iki küme arasında birebir eşleme bulabiliriz. Herhangi iki kümenin elemanları arasında bu şekilde birebir eşleme kurabiliyor isek matematikte bu kümelere “aynı büyüklükte” kümeler diyoruz.

Bu tanımlamanın bazı ilginç sonuçları var. Mesela çift doğal sayılar kümesini ele alalım: 2, 4, 6, … . Bu küme sonsuz bir küme ve aynı zamanda doğal sayılar kümesiyle aynı büyüklükte! Çünkü 1’i 2 ile, 2’yi 4 ile, 3’ü 6 ile, ... eşleyerek doğal sayılar kümesiyle çift sayılar kümesi arasında birebir eşleme kurabiliyoruz. Yani doğal sayılar kümesi ile çift sayılar kümesi aynı büyüklükteler! Günlük olarak kullandığımız büyüklük algısına biraz ters değil mi?

Benzer şekilde rasyonel sayılar kümesinin büyüklüğü de doğal sayılar kümesiyle aynı büyüklükte. Yani bütün rasyonel sayıları 1, 2, 3, … şeklinde etiketleyebiliriz. Bunun birden çok yolu var. Kendiniz için bir tane “rasyonel sayıları sayma” kuralı bulmaya çalışabilirsiniz.

Sonsuzluğun bu yönü üzerine ilk düşünen insanlardan biri Galileo idi. Daha sonra Georg Cantor bu konu üzerine eğilerek modern matematikteki sonsuzluk kavramına şekil verdi. Çalışmalarında sonsuz kümeler arasında bir “büyüklük hiyerarşisi” kurdu. Bu hiyerarşideki en küçük sonsuzluk bu yazıda ele aldığımız “sayılabilir sonsuzlukta” olan kümeler, bir başka deyişle büyüklüğü doğal sayılar kümesine eşit olan kümeler. Hiyerarşideki bir sonraki büyüklük reel sayılar kümesinin büyüklüğü. Ve reel sayılar kümesiyle doğal sayılar kümesi arasında birebir eşleme yapmak mümkün değil!

Süreklilik Hipotezi

20. yüzyılda matematiğin en temel problemlerinden biri, doğal sayılar kümesinden büyük ama reel sayılar kümesinden küçük olan bir kümenin var olup olamayacağı sorusuydu. Bu problem “Süreklilik Hipotezi” (Continuum Hypothesis) olarak bilinir. Cantor bu hipotezin doğru olduğunu öngörüyordu; yani doğal sayılardan büyük en küçük büyüklükteki kümenin reel sayılar kümesi olduğunu düşünüyordu. Daha sonra bunun kümeler teorisinin üzerine inşa edildiği aksiyomatik sistemden bağımsız bir cevabı olduğu anlaşıldı. Yani matematikte temel aldığımız değişmez kurallar, bir başka deyişle kullandığımız aksiyomatik sistem, bize bu hipotezin doğru ya da yanlış olduğunu söylemiyor!

Kaynak

Plus Magazine, Maths in a minute: https://plus.maths.org/content/maths-minute-countable-infinities