Bir dakikada matematik: 'R sıfır' ve sürü bağışıklığı

Sürü bağışıklığı nedir ve \( R_0 \) denilen bir sayı ile ne ilgisi vardır?

[BAA - Matematik / Çeviri: Oğuz Şavk]

Birçoğumuzun son birkaç hafta içinde duyacağı iki şey, sürü bağışıklığı kavramı ve \( R_0 \) adlı bir sayıdır.

Temel üreme sayısı

COVID-19 gibi bulaşıcı bir hastalık göz önüne alındığında, \( R_0 \) hastalığın temel üreme sayısıdır: nüfustaki herkesin hastalığa duyarlı olduğu göz önüne alındığında, enfekte olmuş bir kişinin enfekte edeceği ortalama insan sayısı. COVID-19 için bunun şu anda 2 ila 2.5 arasında olduğu tahmin edilmektedir. Mevsimsel grip türleri için 0.9 ila 2.1 arasındadır. Ve kızamık için, 12 ila 18 arasında çok büyük bir sayı.

Yeterince büyük bir \( R_0 \)'ın hastalığın hızlı bir şekilde yayılmasına nasıl yol açtığını görebilirsiniz. Örneğin, \( R_0 \) 2'ye eşitse ve enfekte olmuş bir kişi bulaşıcı olduktan sonraki bir hafta içinde mağdurlarına bulaştırırsa, enfekte olan tek bir kişi aşağıdaki yeni enfeksiyonların büyümesini tetikler:

1 hafta sonra: 2 yeni enfeksiyon,

2 hafta sonra: 4 yeni enfeksiyon,

3 hafta sonra: 8 yeni enfeksiyon,

4 hafta sonra: 16 yeni enfeksiyon.

Genellikle, \( n \)  hafta sonra \(2^n \)  yeni enfeksiyon vardır. Bu oranda, tüm dünya nüfusu (7.8 milyar), 33 haftanın biraz altında sürede enfekte olur.

Temel üreme sayısı \( R_0 \) 1'den küçük olduğunda çok farklı bir resim ortaya çıkar. Bir örnek olarak, \( R_0 = 0.5 \) olduğunu hayal edin. Şimdi açıkçası, enfekte bir kişi yarım kişiyi enfekte etmeye devam edemez, ancak bunun bir ortalama olduğunu unutmayın: Bu, 10 kişinin 5 kişiyi, 100 kişinin 50 kişiyi enfekte etmeye devam edebileceği anlamına gelir.

Daha önce olduğu gibi, başlamak için 1 enfekte kişi olduğunu ve enfekte olmuş bir kişinin bulaşıcı olduktan sonraki bir hafta içerisinde mağdurlarına bulaştırdığını varsayalım. O zaman yeni enfeksiyonların sayısı şöyle davranır:

1 hafta sonra: 0,5 yeni enfeksiyon,

2 hafta sonra: 0.25 yeni enfeksiyon,

3 hafta sonra: 0.125 yeni enfeksiyon,

4 hafta sonra: 0.0625 yeni enfeksiyon.

Genel olarak, \( n \)  hafta sonra \( (0.5)^n  \) yeni enfeksiyon vardır. Hafta sayısına karşılık \( n \) sayısı arttıkça bu sayı gittikçe küçülür. Hastalık için çıkmaz sokaktır.

\( R_0 =1 \) olursa ne olur? Bu durumda, hastalık yöresel olacaktır: her zaman popülasyonda bulunur, ancak bir salgın değildir.

Etkili üreme sayısı

Peki, kızamık veya bazı mevsimsel grip türlerinin \( R_0 \)'ın 1'den büyük olduğu göz önüne alınacak olursa, tüm dünya nasıl uzun bir süre önce bu hastalıklara yakalanmadı? Bunun nedeni, \( R_0 \)'ın, nüfustaki herkesin duyarlı olduğu göz önüne alındığında, enfekte olmuş bir kişinin enfekte edeceği ortalama insan sayısı olmasıdır. Gerçek hayatta, başka bir yerde bir hastalığa yakalanan bir kişi, dünyanın daha önce bu hastalığın hiç görülmediği bir bölgesine girerse, bu durumda insanlar bağışıklığa sahip değildir ve insanları koruyacak bir aşı yoktur. O zaman \( R_0 \), 2'yse, başlangıçta, yukarıda açıkladığımız gibi, enfekte olmuş insan sayısının çılgınca büyüyeceği anlamına gelir.

Bununla birlikte, bir kişi hastalıktan kurtulduktan sonra (umarız ki) insanlar biraz bağışıklık kazanacaktır. Bu, bir süre sonra artık tamamen duyarlı bir nüfusla uğraşmayacağımız anlamına geliyor. Gerçekten de nüfustaki bazı insanların duyarlı olmamalarının başka nedenleri olabilir: başka nedenlerden dolayı bağışık olabilirler veya bir aşı varsa, olmuş olabilirler ya da nüfusun geri kalanından izole edilebilirler.

Çoğu gerçek hayat durumunda, kimi zaman \( R\) ile gösterilen, hastalığın etkili üreme sayısına bakmalıyız: enfekte olmuş bir kişinin bazı insanların bağışık olduğu (veya diğer bazı müdahalelerin olduğu) bir nüfusta enfekte edeceği kişilerin ortalama sayısı. Elbette \( R_0 \) ve \( R \) ilişkili. Hastalığa yakalanmaya duyarlı nüfusun oranı için s yazarak,

\( R = sR_0  \)

elde ederiz.

Örnek olarak, nüfusun yalnızca yarısı duyarlıysa, \(  s = 0.5 \)  ise, o zaman \( R = 0.5R_0  \)  elde ederiz. Bu durumda, \( R_0 \) 2'den küçük eşitse \( R \), 1'den küçük eşittir ve hastalık bir salgına dönüşmez. Herhangi bir müdahalenin nihai amacı ister aşılama ister sosyal mesafelenme olsun etkili üreme sayısını 1'in altına düşürmektir.

Sürü bağışıklığı

Bütün bunların sürü bağışıklığı ile ne ilgisi var? Sürü bağışıklığının arkasındaki genel fikir, birçok insanın bağışık olduğu bir nüfusta, bir hastalığın tutunamayacağı ve salgın haline gelemeyeceği, böylece bağışık olmayan insanları koruyabileceğidir. Nüfus (belki de maalesef sürü olarak adlandırılır) savunmasız kişileri korur.

Peki bir nüfusun sürü bağışıklığına sahip olması için kaç kişinin bağışık olması gerekir? Bir hastalığın temel üreme sayısı \( R_0 \)'ın 1'den büyük dolayısıyla bir salgını tehdit ettiğini düşünün. Gördüğümüz gibi, etkili üreme sayısı \( R \), 1'den az ise hastalık bir anda sonlanacaktır. Dolayısıyla sürü bağışıklığı elde etmek için bir şekilde etkili üreme sayısı \( R \)'yi 1'in altına çekmemiz gerekiyor. \( R = sR_0 \)  olduğundan, \(  s \) duyarlı nüfusun oranı olmak üzere

\( sR_0  < 1  \)

olması gerekir. Yeniden düzenlersek

\( s < 1/R_0  \)

olur. Başka bir deyişle, nüfus içindeki duyarlı insanların oranının \( 1/R_0 \)'ın altına düşmesi gerekir. Bunu başarmak için kaç kişinin bağışık olması gerekir? Duyarlı insanların oranı \( s \) ise, o zaman duyarlı olmayanların, yani bağışık olanların oranı \( 1 - s  \) 'dir. Şimdi

\( s < 1 / R_0  \)

olması

\( 1 - s > 1 - 1/R_0\)

anlamına geliyor.

Bu nedenle, sürü bağışıklığını elde etmek için, nüfusun en az \( 1 - 1/R_0 \) oranında bir bağışıklığı olduğundan emin olmalıyız. COVID-19 için tahminlerin üst sınırı \( R_0 \) için 2.5 olduğundan, nüfusun bağışıklığını en azından \( 1 - 1/R_0 = 0.6 \) oranına getirmemiz gerektiği anlamına gelir. Bu en az % 60 demektir.

Bunu nasıl yapabiliriz? İdeal olarak, bunu nüfusun en az % 60'ını aşılayarak yapardık. Bir aşı olmadığından, bu bağışıklık seviyesinin doğal olarak, insanların hastalanıp ve sonra bağışıklık kazanmasıyla elde edileceğini umut edebiliriz. Ancak birçok insan COVID-19'dan öldüğü için, daha fazla enfeksiyonun daha fazla bağışıklık anlamına geldiği bilgisinden emin olarak, hastalığın nüfus üzerine çökmesine izin veremeyiz.

Çünkü savunmasız insanları ve sağlık bakım sistemlerimizi korumamız gerekiyor, dünyanın büyük bir kısmı şu anda kilit altında. İşin garip yanı kilitlenmeler çoğumuzun enfekte edilerek bağışıklık kazanmadığı anlamına gelir, bu nedenle sosyal mesafelenme önlemleri kaldırıldığında salgın tekrar aniden yükselebilir.

Peki bu en kötü senaryoda ne yapacağız? Bir seçenek, aşı olana kadar kilit altında kalmak olabilir, ancak bu bir yıldan fazla sürebilir. Bir diğeri, salgının art arda ani yükselişlerini sağlık bakımı sistemlerinin kritik kapasitesinin altında tutmak için aralıklı kilitlenmelere girmektir.

Gerçek şu ki şu anda kimse gelecekte ne olacağını tam olarak bilmiyor. En akıllı tahminlerimiz, pandeminin seyrini sınamaya ve ön görmeye çalışan matematiksel modellerden geliyor. Mevcut durumumuzdan en iyi çıkış stratejilerini bulmaya yardımcı olmak için bilimsel modelleme camiasına acil bir çağrı yapılmıştır.

Genel olarak, yukarıdaki hesaplamalarımız aşılama hakkında da önemli bir mesaj verir: sadece hastalığa karşı aşılanan bireyi korumakla kalmaz, aynı zamanda bir sebepten ötürü aşılanmayacak ve bu nedenle savunmasız olacak kişileri de korur. Aşı sadece sizin için değil, tüm "sürü" için!

Kaynak:

Maths in a minute: "R nought" and herd immunity, https://plus.maths.org/content/maths-minute-r0-and-herd-immunity