Bir dakikada matematik: R değerini hesaplamak

R değerini farklı gruplar için ayrı ayrı hesaplayıp ortalamasını almak gruplar arasındaki etkileşim göz ardı edildiğinde yanıltıcı sonuçlar verebilir.

[BAA – Matematik/ Çeviri: Mahmut Levent Doğan]

Artık her birimiz, bir hastalığın etkin üreme sayısı olan R değerine aşinayız: Enfekte (hastalığın bulaştığı) bir kişinin, hastalığı belli bir zaman dilimi içinde bulaştırdığı ortalama kişi sayısı. Eğer R 1’den büyükse, enfekte vakaların sayısı, COVID-19 gibi bir tehlikeli bir hastalıkta fazla sayıda insanın ölümüne yol açacak bir biçimde üstel olarak artar. Eğer R değeri 1’den küçük olur ve o şekilde kalırsa, yeni vakaların sayısı zamanla azalır ve salgın sona erer.

Bütün dünyada ülkelerin karantina ilan etmelerinin sebebi de buydu: Etkin üreme sayısı R’ı 1’in altına çekmek. Her ne kadar sıklıkla bir ülkenin R değerinden söz etsek de, belirli mekanlara veya toplumun farklı tabakalarına baktığımız zaman farklı R değerleri ile karşılaşabiliriz. Örnek olarak, bakımevleri veya hastanelerdeki R değeri, toplumun geri kalanından daha yüksek olabilir.

R değerlerini birleştirmenin tehlikesi

R’ın nihai değerini hesaplamak için, toplum içinde hesaplanan ve hastanelerde hesaplanan değerlerin basit bir biçimde ortalamasını almanın yeterli olacağını düşünebilirsiniz. Gerçekte durum böyle değildir ve bu hesap R değerinin tehlikeli bir şekilde düşük hesaplanmasına yol açar. Hatta, bu durumda hastalığın kontrol altında olduğunu zannetmemize yol açabilir.

Bunun sebebi, hastanelerdeki insanlar ile toplumun geri kalanının birbirinden izole olmamasıdır (Yazının devamında tartışmayı daha basit bir biçimde ilerletmek adına bakımevlerini ve hastaneleri bir sayıp, hepsini “hastaneler” olarak isimlendireceğiz). Toplumdaki insanlar hastalandıkları zaman hastanelere giderler ve hastane çalışanları da (ki bunları da hastane popülasyonuna dahil ediyoruz) istemeden de olsa virüsün hastaneden çıkıp topluma karışmasına yol açabilirler. İşte, R değerini yükselten de iki grup arasındaki aktarımdır. Bu nedenle farklı koşullardaki R değerlerini bir arada değerlendirirken çok dikkatli olmalıyız.

Basit bir örnek verelim. Varsayalım ki toplum içerisindeki R değeri 2 olsun, yani enfekte bir insan hastalığı ortalama 2 yeni insana bulaştırıyor olsun ve hastanelerdeki R değeri 3 olsun, yani bir hastanedeki enfekte bir insan hastalığı ortalamada hastanedeki 3 farklı insana bulaştırıyor olsun.

Bu iki grup arasındaki etkileşimi de dikkate almak adına, toplumdaki enfekte insanların, hastanedeki 1 yeni insana hastalığı bulaştırdıklarını varsayalım (toplumun geri kalanında hastalığı bulaştırdıkları 2 insana ek olarak). Benzer bir şekilde hastanedeki bir insanın da toplumda ortalama 1 insana daha hastalığı bulaştırdığını varsayalım (hastanede hastalığı bulaştırdıkları 3 insana ek olarak).

Bu durumda, yukarıdaki şekilden de görebileceğimiz üzere, hastanedeki bir insan ve hastanede olmayan bir insan birlikte 7 kişiye hastalığı bulaştırmış olurlar. Bu da ilk adımda bir insanın ortalama 7/2=3.5 insana hastalığı bulaştırdığını gösterir.

Bir sonraki adımda, hastalığın bulaştığı 7 insan, hastalığı 25 yeni insana bulaştırır ve R değeri bir önceki adımdan da yukarıya çıkarak 25/7=3.57’e yükselir (aşağıdaki şekilde gösterildiği üzere).

Adımları bu şekilde ilerlettiğimizde, nihai R değeri olan 3.62’ye ulaşırız. Can alıcı olan, bu değerin toplumda ve hastanelerde hesapladığımız R değerleri olan 2 ve 3’ten daha fazla olmasıdır.

Sahte bir güvenlik duygusu

Nihai R değerinin ayrı ayrı hesaplanan iki R değerinden de yüksek olması, bu R değerleri 1’den küçük olduğu zaman çok daha önemli hale gelir. Bu durumda, hastalığın kontrol altına alındığını düşünerek karantina koşullarını hafifletmeye başlayabilirsiniz. Fakat, R değerinin nihai değeri hala 1’den yüksek olabilir ve bu da yenilenen bir üstel artışa ve salgında bir ikinci dalgaya sebep olur.

Şimdi daha gerçekçi değerleri olan bir örnek verelim. Karantina altındaki bir topluluktaki etkin üreme sayısının 1’in altında olduğunu varsayalım, diyelim ki 0.8 olsun (Ondalıklı R değerlerini şu şekilde düşünebilirsiniz: eğer hastalığı taşıyan 1000 insan varsa, ortalamada hastalığı 800 yeni insana bulaştırırlar). Yine, hastalığın etkin üreme sayısının hastanelerde ve bakımevlerinde daha düşük olduğunu, 0.7 olduğunu varsayalım. Bu sayılara bakarak, iki değer de 1’den düşük olduğu için hastalığı kontrol altına aldığımızı ve normal yaşantımıza geri dönebileceğimizi düşünebiliriz.

Peki ya bu iki grup arasındaki bulaşlar? Makul bir varsayım olarak, toplumdaki bir taşıyıcının hastalığı hastanedeki 0.4 insana bulaştırdığını ve hastanedeki bir taşıyıcının toplumdaki 0.2 yeni insana hastalığı bulaştırdığını düşünelim. Böylece elimizde grupların hastalığı içeride ve birbirlerine bulaştırma oranlarını gösteren 4 sayı var:

Bütün sayılar 1’den küçük, haliyle hastalık kontrol altındaymış gibi görünüyor. Maalesef durum böyle değil. Bu örnek için gerçekte nihai değer yaklaşık olarak R=1.04. İki grup arasındaki etkileşim, nihai değerin yüksek çıkmasına sebep olur ve hastanelerde mi yoksa toplumun geri kalanında mı daha fazla bulaş olacağını belirler.

Özel bir örnekte incelediğimiz bu fenomen genel olarak geçerli: Etkin üreme sayısı, R, toplumun çeşitli katmanlarının içerisinde hesaplanan hususi değerlerin her birinden daha yüksek olacaktır. Kıssadan hisse: Toplumun farklı kesimleri içerisinde hastalık kontrol altında görünse bile bu kesimler arasındaki bağlantılar salgının büyümesine yol açabilir.

Kaynak

Plus Magazine, Maths in a minute: https://plus.maths.org/content/problem-combining-r-rates