Bir dakikada matematik: İnşa etmeden ispat

Matematikte birçok ispat bir şeyin varlığını o şeyi açık olarak inşa etmeden gösterir. Ele aldığımız oyunda üçüncü halin imkansızlığı ilkesini kullanarak ilk hamleyi yapan oyuncu için bir kazanma stratejisinin var olduğunu ispatlamaya çalışacağız. Ancak stratejinin ne olduğunu söylemeden.

[BAA – Matematik]

Oyun iki oyuncu tarafından oynanıyor; dikdörtgensel bir alana kurabiyeleri aşağıdaki gibi yerleştiriyoruz:

En alt sol köşedeki kurabiye zehirli. Sırayla her oyuncu şunu yapıyor: Bir kurabiye seçiliyor ve o kurabiyenin sağ tarafında kalan ve üstünde kalan bütün kurabiyeleri yiyor. Örnek olarak aşağıdaki resme bakalım. Hamleyi yapan oyuncu sağ üstteki kırmızı kurabiyeyi seçebilir. Ya da sağdan sola üçüncü, üstten aşağı ikinci sıradaki kurabiyeyi seçerse mavi kutu içinde kalan bütün kurabiyeleri de yemiş oluyor. En sol alttaki zehirli kurabiyeyi seçmek zorunda kalan oyunu kaybediyor.

Soru şu: İlk hamleyi yapan oyuncu için bir kazanma stratejisi var mı? Yani ikinci hamleyi yapan oyuncunun seçimleri ne olursa olsun, ilk hamleyi yapan oyuncu için oyunu kazandıracak doğru hamle dizisi var mıdır?

Sorunun cevabı evet ve ispatı oldukça kısa. İlk önce şunu not edelim; her oyun sonlu sayıda hamlede bitmek zorunda çünkü kurabiye sayısı baştan belli ve her hamlede kurabiye sayısı azalıyor. Ayrıca oyun berabere bitemez çünkü oyunculardan biri zehirli kurabiyeyi yemek zorunda kalacak.

İspat şöyle diyelim ki ilk hamleyi yapan en sağ üstteki kurabiyeyi yesin. İki senaryo oluşabilir. Ya bu ilk hamle oyunu kazandıran bir stratejinin ilk hamlesi ya da ikinci oyuncu için kazandıran bir hamle dizisi bulabiliriz. Bakın burası çok önemli, üçüncü ihtimal olanaksız!

Bir başka deyişle ilk hamle (en sağ üst köşedeki kurabiyeyi yemek) kazandıran bir stratejinin ilk hamlesi değilse, ikinci hamleyi yapan oyuncu için kazandıran bir hamle dizisi var demektir. Ancak bu durumda ilk hamleyi yapan oyuncu da oyuna bu hamleyle başlayabilirdi. Biraz düşündüğümüzde oyunun kurallarının buna izin verdiğini görebiliriz. Her durumda ilk hamleyi yapan oyuncu için kazandıran bir hamle dizisi olduğunu sonucuna varmış bulunuyoruz.

Ancak kazandıran stratejinin ne olduğunu bilmiyoruz! Sadece böyle bir stratejinin var olduğunu biliyoruz. Matematikte bu türlü, açıkça inşa etmeden bir şeyin varlığını ispatlamak inşa etmeden ispat yapmak olarak adlandırılıyor. Bu tür ispatların birçoğu üçüncü halin imkansızlığı ilkesine dayanıyor.

Üçüncü halin imkansızlığı ilkesi matematikçilerin kullandığı en önemli araçlardan biri. Ancak matematik felsefesinde bu ilkenin koyu tartışmalar açtığını bilmekte fayda var.

Kaynak:

https://plus.maths.org/content/maths-minute-chomp