İnatçı denklemler ve simetri konusu
Kısa yaşamlarına çok değerli çalışmalar sıkıştırmayı başarmış Nils Henrik Abel ve Evariste Galois’nın kurdukları Galois Teorisi’ne kısa bir bakış atmaya çalışacağız.
[BAA – Matematik/ Çeviri Haber]
1824 yılında Norveçli genç matematikçi Nils Henrik Abel belirli formdaki denklemler için sarsıcı bir sonucu ispatladı. Kısa bir zaman sonra Fransız dahi Evariste Galois bu sonucun neden doğru olduğuna dair derin bir kavrayış getirdi. Her iki matematikçi de üretimlerinin tadını çıkaracak kadar uzun yaşayamadılar. Abel, 1829 yılında, 26 yaşındayken tüberküloz ve yoksulluktan hayatını kaybetti. Galois, 1832 yılında sevdiği kadın için girdiği düelloda aldığı yara nedeniyle hayatını kaybetti. Sadece 20 yaşındaydı.
Peki, onların çalışmaları neyle ilgiliydi? Ve, denklemlerin simetriyle ne ilgisi var?
Denklemleri Çözmek
İkinci derece denklemlerin çözümlerini veren matematiksel formül matematiğin en meşhur formüllerden birisidir. Eğer denklemimiz
\(ax^2+bx+c=0\)
formunda ise formül bize denklemin çözümlerini
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
olarak verir. Daha karmaşık olmasına rağmen benzer bir formül \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) formundaki üçüncü derece denklemler için ve \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\) formundaki dördüncü derece denklemler için de mevcuttur.
Bu formüller sadece toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemleriyle birlikte karekök alma, üçüncü dereceden kök alma ve dördüncü dereceden kök alma olmak üzere sınırlı sayıda işlemleri içerir.
Burada kendinize sorabileceğiniz doğal soru, beşinci dereceden,
\(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0\), veya \(x\)’in daha yüksek kuvvetlerini içeren polinomal denklemler için de çözümleri veren genel bir formül bulabilir miyiz?
Formülün sadece toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma işlemleriyle ifade edilebilmesini istiyoruz. 1824 yılında Abel tarafından ispatlanan sonuç beşinci derece denklemlerin çözümlerini veren genel formülün olmadığıydı.
Abel bu önermeyi ispatladı ancak birkaç yıl sonra Galois beşinci dereceden denklemler için neden böyle bir formül olamayacağına dair daha derin bir kavrayış getirdi. Galois, denklemler üzerine olan çalışmasıyla, simetri kavramının matematiksel olarak çalışılması anlamına gelen grup teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Simetri kavramını genellikle görsel birşey olarak düşünürüz. Bir resim veya desen simetrik olabilir. Peki simetrilerin denklemlerle ne ilgisi var?
Simetri
İlk olarak simetrinin ne olduğu üzerine düşünelim. Karenin simetrik olduğunu söyleriz çünkü 90 ve katları derecede döndürürsek veya değişik eksenlere göre yansıtırsak başlangıçtaki kareyi elde ederiz. Yani simetri değişime karşı bağışıklıdır: bir obje üzerine bir operasyon uyguladıktan sonra elde ettiğimiz şey başlangıçtaki objeyle aynıysa, bu objeye simetrik deriz; uyguladığımız operasyon da o objenin simetrisi olur. Mesela, bir çemberi merkezi etrafında ne kadar döndürürsek döndürelim yine çemberin kendisini elde ederiz. Dolayısıyla merkez etrafında döndürmeler çemberin simetrileridir.
İkinci derece denklemlere baktığımızda simetrinin varlığını tespit edebiliriz. Örnek olarak, \(x^2-2=0\) denklemi \(x_{1}=\sqrt{2}\) ve \(x_2=-\sqrt{2}\) çözümlerine sahiptir. Bunlar iki farklı çözüm fakat bir bağlamda çok benzerler zira biri diğerinin sadece eksilisi. Bu iki çözümün değiş-tokuşu belki de gerçekte hiçbir fark yaratmaz. Kare için fark yaratmayan yansıma gibi bu iki çözümün değiş tokuşu da bir simetri olabilir. Peki neyin simetrisi? Yazının bundan sonrasında denklem çözümleriyle simetri kavramı arasındaki ilişkiyi ifade etmeye çalışacağız.
Cisim genişlemesi ve simetri
Bunu anlamak için denklemlerde içerilen katsayılara bakalım. \(x^2-2=0\) denklemi rasyonel katsayılı bir denklemdir. Yani \(x^2\)’nin katsayısı 1 ve sabit terim \(-2\) rasyonel sayılardır. Buna karşın denklemin çözümleri, \(\sqrt{2}\) ve \(-\sqrt{2}\) ise iki sayının oranı olarak yazılamayan irrasyonel sayılardır. Denklem çözümleri irrasyonel sayıları da içerebileceği için bu denklemlerin çözümü hakkında düşünürken rasyonel sayılar kümesinin kendisi yeterli olmayacaktır.
Bu yeni küme \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\)’den aldığımız herhangi iki sayının toplamı, farkı, çarpımı veya bölümü yine bu yeni kümede olacaktır. Bu dört temel işlemi özgürce yapabildiğimiz kümelere cisim denir (mesela tamsayılar kümesi bir cisim değildir çünkü iki tam sayının bölümü her zaman bir tamsayı vermez). \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\) kümesi, tüm rasyonelleri ve bunun yanında \(x^2-2=0\)’nin çözümleri olan \(\sqrt{2}\) ve \(-\sqrt{2}\)’yi içeren en küçük cisimdir.
Özetle yapılan şu; rasyonel katsayılı bir denklemin çözümlerini incelemek için o denklemin çözümlerini rasyonel sayılar kümesine ekliyoruz. Matematikçiler denklem çözümleriyle simetri kavramı arasındaki ilişkiyi, elde ettiğimiz bu daha büyük cisim üzerinden kuruyorlar.
Şimdi bir cismin simetrisi ne demek onu tanımlamaya çalışalım. F adında bir cismimiz olsun. F cisminin simetrisi F kümesinden kendisine giden özel bir fonksiyon olarak tanımlanacak. Bu fonksiyonun özelliği toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini koruması. Matematiksel olarak şöyle; cismimizden x ve y isimli iki tane eleman seçelim. \(f\) ismini verdiğimiz fonksiyonumuzun aşağıdaki kuralları sağlamasını istiyoruz.
\(f(x+y)=f(x)+f(y) \quad ve \quad f(xy)=f(x)f(y)\)
Her çıkarma bir toplama, her bölme ise aslında bir çarpma olduğundan çıkarma ve bölme için de benzer formüller sağlanır. Sözel olarak ifade etmeye çalışırsak; bir cisim, bir küme üzerinde tanımlanmış toplama ve çarpma yapısı olduğundan, yukarıdaki formüller \(f\) fonksiyonunun cismin yapısını koruduğu anlamına gelir. Bu türlü her bir fonksiyona F cisminin bir simetrisi diyoruz.
Çözümleri değiş tokuş etmek
Şimdi, \(x^2-2=0\) denkleminin çözümleri olan \(\sqrt{2}\) ve \(-\sqrt{2}\)’yi değiş-tokuş etme fikrine geri dönebiliriz. Bu işlemi \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\) cismindeki tüm sayılar için yapmak demek \(a+b\sqrt{2}\) sayısını \(a-b\sqrt{2}\) sayısıyla değiş tokuş etmek demektir. Şimdi bu değiş tokuş işlemini \(f\) ismini verdiğimiz bir fonksiyon yardımıyla temsil edelim:
\(f(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}\)
\(f\) fonksiyonu \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\)’nin bir simetrisidir, yani toplam ve çarpım yapısını korur. Ayrıca \(f\) fonksiyonu bu kümedeki rasyonel sayıları kendilerine götürür çünkü eğer \(a\) bir rasyonel sayıysa
\(f(a)=f(a+0\cdot\sqrt{2})=a-0\cdot\sqrt{2}=a\)
olacaktır. Bu türlü \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\)’nin altkümesi \(\mathbb{Q}\)’yu sabitleyen simetriler \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\) cisminin \(\mathbb{Q}\)-otomorfizması olarak adlandırılır.
Galois grubu
\(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\) kümesinin \(f\) fonksiyonu dışında başka \(\mathbb{Q}\)-simetrileri var mıdır? Evet, kendisi biraz sıkıcı olmakla birlikte \(f\) dışında bir tane daha var. Bu simetri \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\) kümesinin tüm elemanlarını değiştirmeden bırakan simetridir. Bu simetri birim fonksiyonla, \(g(x)=x\) ifade edilir. Bu yüzden \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\) kümesinin tüm \(\mathbb{Q}\)-simetrileri kümesi ( \(x^2-2=0\) denkleminden doğan simetrilerin kümesi) sadece \(f\) ve \(g\)’yi içerir.
Kendisi kare gibi bir şekil veya denklem olabilen herhangi bir nesnenin tüm simetrilerinin koleksiyonu grup olarak adlandırılan bir yapı oluşturur. \(x^2-2=0\) denkleminden ortaya çıkan ve \(g\) ve \(f\)-\(\mathbb{Q}\)-simetrilerini içeren gruba \(x^2-2=0\) denkleminin Galois grubu adı verilir.
Beşinci derece denklemleri neden çözemeyiz?
\(x^2-2=0\) denklemi için yaptığımız her şeyi teorik olarak katsayıları rasyonel olan \(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0\) formundaki herhangi bir beşinci dereceden denklem (\(P\) olarak isimlendirelim) için de yapabiliriz.
Yine, rasyonel sayılar kümesini, rasyonel sayıları ve \(P\) denkleminin köklerini içeren en küçük cismi (\(\mathbb{Q}[P]\) ile gösterelim) oluşturmak için genişletelim. Bu yeni cisme \(P\)’nin parçalanış cismi denir. \(x^2-2=0\) denklemi için yaptığımız gibi parçalanış cisminin \(\mathbb{Q}[P]\)’nin de tüm simetrilerine bakabiliriz. Bu simetriler, \(\mathbb{Q}[P]\) cismi üzerinde tanımlanan, \(\mathbb{Q}\)’nun elemanlarını değiştirmeyen, ve \(P\) denkleminin çözümlerini kendi aralarında değiştiren ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemlerini koruyan \(\mathbb{Q}\)-otomorfizmalarıdır. Bu simetriler \(P\) denkleminin Galois grubunu oluşturur.
Bazen Galois grubu karekök, üçüncü dereceden kök veya \(n\)’inci dereceden kök almaya karşılık gelen daha küçük parçalara ayrılabilir. Eğer denklemin Galois grubu doğru şekilde daha küçük bileşenlere ayrılamıyorsa bu durumda denklem toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma işlemleriyle çözülemez. Ve bazı beşinci dereceden denklemlerin Galois gruplarının doğru şekilde ayrıştırılmadığını göstermek mümkün. Bu yüzden beşinci dereceden denklemlerin çözümlerini veren genel bir formül yazmak mümkün değil. Bu durum \(x\)’in daha yüksek kuvvetlerini içeren polinomal denklemler için de geçerlidir. Denklemlerin çözümlerinin grup teori kullanılarak bulunmaya çalışılması, mucidinin ardından Galois teori olarak adlandırılır.
Daha detaylı bir okuma için NRICH sitesini ziyaret edebilirsiniz.
Kaynak
https://plus.maths.org/content/stubborn-equations