Bir dakikada matematik: Diferansiyel denklemler

Hareketi anlamak için niceliklerin birbirlerine göre değişimlerini anlamak şart. Konumuz niceliklerin birbirine göre değişimlerini modelleyen diferansiyel denklemler.

[BAA – Matematik/ Çeviri: Eren Şen]

Otoyolda 70 km sabit hızla sürüş yaptığımızı hayal edelim. Eğer hedefimize 2 saatte ulaşıyorsak o zaman 140 kilometrelik bir yol katettiğimizi hesap etmeniz kolay olacaktır. İşte burada, fark etmeden yaptığımız şey tam olarak diferansiyel denklem çözmek. Hız, zaman içerisindeki yolun değişim oranıdır. Bu değişim oranını kullanarak yolculuğumuzun sonunda değişen miktarın yani yolun değerini hesaplamış olduk.

Basit olarak, diferansiyel denklemler bununla alâkalıdır. Etrafımızdaki dünyaya baktığımızda sıklıkla gördüğümüz ve ölçebildiğimiz şey değişimdir: bir \(y\) niceliğinin zaman içinde, uzaya veya bir başka \(x\)niceliğine göre nasıl değiştiğidir. Bu değişimi bir denklemle ifade edebiliriz: buna da “adi diferansiyel denklem” denir. Araba örneğimizde, yol \(y\) ve zaman da \(x\) olsun. Değişim oranı için \(\frac{dy}{dx} \) yazmaya karşılık gelen adi diferansiyel denklem

\( \frac{dy}{dx}=70 \)

tir. Diferansiyel denklemi çözmek, \(y\)'nin \(x\)'e göre değişim oranından, \(x\)'in her değeri için \(y\) değerini hesaplamak anlamına gelir. Araba örneğinde adi diferansiyel denklemin çözümü

\( y(x)=70x \)

tir. \(x=2\) için, yani 2 saatlik seyahatin ardından, katedilen yol daha önce söylediğimiz gibi

\( y(2)=70 \times 2 = 140, \)

olur. Şimdi hız, yolun zaman içerisindeki değişim oranıdır: buna yolun zamana göre birinci türevi denmektedir. İvme, zaman içerisinde hızın değişim oranıdır ki bu da zamana göre yolun ikinci türevi yapar. Böyle devam edilebilir. İvmenin zaman içerisindeki değişim oranı, yolun zamana göre üçüncü türevi olacak ve bu şekilde devam edildiğinde “yüksek mertebeden türev”lerin bir dizisini verecektir. Bir adi diferansiyel denklem \(y\)niceliğini ve \(y\)'nin \(x\)'e göre yüksek mertebeden türevlerini içeren bir denklemdir.

\(y\) niceliğinin birden fazla niceliğe göre değişim oranını içeren denklemlerle de karşılaşabiliriz. Mesela, \(y\)niceliğinin uzayda hareket ettikçe nasıl değiştiğini düşünüyorsanız, uzayın her üç yönüne göre \(y\)'nin değişim oranlarını dikkate almanız gerekebilir. Yukarı doğru çıktığımızdaki değişim oranı, sağa veya sola ya da ileri veya geri hareket ederkenki değişim oranından epey farklı olacaktır. Bu olduğunda ise  \(y\)'nin bağlı olduğu niceliklerin her bir niceliğe göre ayrı ayrı olan değişim oranını kullanırız. Bu şekilde bir niceliğin birden çok niceliğe göre değişim oranını içeren denklemlere ise “kısmi diferansiyel denklemler” denir.

Modelleme ve varlık-yokluk problemi
Doğada gerçekleşen birçok süreç adi ya da kısmi diferansiyel denklemlerle modellenebilir. Bir kez modellendikten sonra bu denklemlerin çözümlerinin varlık-yokluk problemi ortaya çıkıyor. Bazı modellerin çözümleri yukarıdaki örnekte olduğu gibi açık bir formülle ifade edilebilir. Bazılarının çözümlerini ise bir formülle ifade etmek mümkün olmasa da çözümün var olduğu ispatlanabilir. Bazıları için ise çözümlerinin var olup olmadığını söylemek cevaplanması gereken bir soru olarak kalmaya devam ediyor. Bunlardan en ünlüsü akışkanların hareketini modelleyen Navier-Stokes denklemler sistemi.

Kaynak:

Plus Magazine, Maths in a minute: Differential equations https://plus.maths.org/content/maths-minute-differential-equations