Bir dakikada matematik: Daha yüksek boyutlar

Yüksek boyutlu uzay düşüncesi kulağa ve sezgilerimize garip gelse de öyle olmaları gerekmiyor.

[BAA – Matematik / Çeviri: Eren Şen]

Normal hayatta yüksek boyutlar bilim kurguyu hatırlatır, ancak matematikte bunlar sıra dışı değillerdir. Sezgisel olarak, boyutları bizi üç boyutlu dünyada yaşadığımıza inandıran hareket edebildiğimiz yönler olarak düşünürüz: yukarı ve aşağı, sola ve sağa, ileri ve geri. Bu dünyadaki her nokta üç koordinat ile tanımlanır. Başka bir yönde hareket etmeyi düşünemediğimiz için ise dört-boyutlu bir dünyada yaşamayı hayâl edemeyiz.

Şimdi, düşünün ki birisiyle buluşma ayarlıyorsunuz. Buluşacağınız kişiye yalnızca buluşacağınız yerin üç koordinatını (teorik olarak) vermeniz değil, ayrıca buluşacağınız zamanı da söylemeniz gerekir. Dolayısıyla, zaman ve uzay birlikte dört-boyutlu uzayı oluştururlar: bir noktayı belirlemeniz için dört sayıya ihtiyacınız vardır.

Konuştuğunuz şeyi belirlemek için dört sayıdan fazlasına ihtiyacınız olduğu durumlar da mevcuttur. Örneğin, müziği harmanlayan bir ses mühendisiyseniz, 12, 24, hatta 128 kanal (mesela her enstrüman için bir kanal)  ile çalışıyor olabilirsiniz. Her bir anda, hadi diyelim, 24 kanalın her birinin belirli bir ses seviyesi vardır. İşte bu size 24-boyutlu ses uzayındaki bir noktayı tanımlayan 24 sayıyı verir.

Gördüğünüz üzere, daha yüksek boyutlu uzay düşüncesinin ilk başta göründüğü kadar garip olması gerekmiyor. Genel olarak, n-boyutlu uzayda bir nokta n tane sayıyla (koordinatla) verilir. Oldukça kolay, fakat matematikçiler bir adım daha öteye giderek yüksek boyutlu uzayları ve onların içlerindeki nesneleri, biz onları aklımızda canlandıramasak bile, geometrik nesneler olarak ele alırlar. Cebir ise onlara bunu yapmaları için araçları sağlar. Mesela,

\( x^2+y^2+z^2=1 \)

denkleminin tanımladığı şey olağan bir küredir: üç boyutta yaşayan iki boyutlu bir nesne (kürenin içi boş!). Analoji yaparak diyebiliriz ki

\( x^2+y^2+z^2 + w^2 =1 \)

denkleminin tanımladığı şey de hiperküredir: dört boyutta yaşayan üç boyutlu bir nesne. Benzer yolla hiperküreleri daha yüksek boyutlarda tanımlayabilirsiniz, aynı zamanda hiperküp gibi başka tür nesneleri de tanımlayabilirsiniz.

Matematikçiler ne zaman iki veya üç boyutta bir sonuç kanıtlasalar, benzer şeyin daha yüksek boyutlarda da sağlanıp sağlanmadığını her zaman sorarlar. Bazen bu sorunun cevaplanması kolay, bazen de değildir.

4 boyutlu küp: 4 boyutlu küpü küçük boyutlardan başlayarak şöyle anlamaya çalışabiliriz. 3 boyutlu küpü, küpün kare kenarlarından birini, karenin düzlemine dik bir yönde karenin kenar uzunluğu kadar hareket ettirerek oluşturabiliriz. Karenin hareket ederken taradığı hacim 3 boyutlu bir küptür. Bu durumda 4 boyutlu küpü de şu şekilde hayal edebiliriz. 4 boyutlu küpün bir kenarını 3 boyutlu bir küp olacak şekilde hayal edelim. Bu 3-boyutlu küpü dördüncü yönde (mesela zaman!) biraz önce 3 boyutta yaptığımız harekete benzer bir şekilde kaydırarak 4 boyutlu bir hacmin tarandığını hayal edebiliriz. Görselde gördüğümüz tesseract 4 boyutlu küpün 3 boyuta izdüşümünü temsil ediyor. Yine de tam olarak değil! Her zaman yaptığımız gibi, ilk önce, algılayabildiğimiz 3 boyutta bu ne demek, onu anlamaya çalışalım. 3 boyutlu bir küpün kenarlarından biri üstüne izdüşümünü almak demek, küpün bu kenara paralel bütün kesitlerinin izdüşüm alınan kenar üzerine bindirilmesi demek. Bir sürü A4 kağıdını üstüste yapıştırdığımızda tek bir A4 kağıdı gibi görünmesine benzer. Şimdi 4 boyutlu bir küpü alırsak, her bir kesiti 3 boyutlu bir küpü olur. 4 boyutlu küpün de bir kenarı 3 boyutlu küp olacağından, 4 boyutlu küpün her bir kesitinin bu kenarın üzerine bindirilmesi gerekir. Bu anlamda 3 boyuta izdüşüm sonunda aslında sadece bir tane küp elde etmemiz gerekir. Ancak görselde bu izdüşümün birbiri üstüne bindirilmiş küp kesitler olduğunu vurgulamak için, izdüşüm içiçe geçmiş (içi dolu) küpler gibi görünüyor. Ya da kaydırma analojisini hatırlayacak olursak, görsel, 4 boyutlu bir kübün 3 boyutlu bir kübün kaydırılmasıyla elde edildiğini hatırlatıyor. Aslında 4 boyutta bu küpler içiçe geçmiş değil, kesişmiyorlar.

Kaynak:

Plus Magazine, Maths in a minute: Higher dimensions https://plus.maths.org/content/maths-minute-higher-dimensions