Bir dakikada matematik: Kaç tane asal sayı var?

İşte sonsuz çoklukta asal sayının var olduğunun antik kanıtı.

[BAA - Matematik/ Çevirmen: Oğuz Şavk]

Asal sayılar sadece \( 1\) ve sayının kendisi ile bölünebilen doğal sayılardır. İlk birkaç örnek \(2, 3, 5, 7, \) ve \( 11\)'dir. Ve iyi haber şu ki sonsuza kadar sürüyorlar. Sayı doğrusunda ne kadar ilerlerseniz ilerleyin daima önünüzde başka bir asal sayı olacaktır. Sonsuz çoklukta asalın olduğu gerçeği antik Yunanlılar tarafından bile biliniyordu. (Bugünküyle aynı dili ve kavramları kullanmasa da) işte en ünlü Yunan matematikçi Öklid'e atfedilen bir kanıt.

Diyelim ki sadece sonlu sayıda asal var. Onları \(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \) olarak isimlendirebiliriz. Şimdi

\(P= p_1 \times p_2 \times p_3 \times \ldots \times p_n +1 \)

sayısını tanımlayın.

Örnek olarak, yalnızca beş asal varsa \(p_1=2, p_2 =3, p_3 =5, p_4=7  \) ve \(p_5=11\), o zaman

\(P= 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 + 1 = 2311 \)

olurdu.

Şimdi, \( P\)'nin kendisi asal bir sayı ise (örneğimizde olduğu gibi), o zaman şüphesiz listemizdekilerden biri olamaz: çünkü hepsinden daha büyüktür. Eğer \( P \) asal sayı değilse, diğer doğal sayılar gibi asalların bir çarpımı olarak yazılabilir. \( P\)'yi bölen ve \( p\) ile gösterilen asallardan birini seçelim. Şimdi \( p\), \( p_1\) ile \( p_n \) arasındaki asal sayıdan hiçbiri olamaz çünkü eğer olsaydı, o zaman

\(P - (p_1 \times p_2 \times p_3 \times \ldots \times p_n)  = 1 \)

ifadesini de bölecekti, bu imkansızdır, çünkü 1 herhangi bir doğal sayıya bölünemez. Bu nedenle \(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \)'ye kadar olan koleksiyon, varsaydığımız gibi tüm asalları içeremez. Bu çelişki, sonsuz çoklukta asal sayı olması gerektiği anlamına gelir.

Kaynak:

Maths in a minute: How many primes?, https://plus.maths.org/content/maths-minute-how-many-primes