2018'de Fields madalyası alan dört isimden biri: Akshay Venkatesh

2018 Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde takdim edilen Fields madalyalarının sahiplerini ve çalışmalarını tanıttığımız yazı dizisine, Peter Scholze ve Caucher Birkar’ın ardından Akshay Venkatesh ile devam ediyoruz.

Bilim ve Aydınlanma Akademisi Matematik Komisyonu

Cuma, 10 Ağustos 2018 16:22

2018 Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde takdim edilen Fields madalyalarının sahiplerini ve çalışmalarını tanıttığımız yazı dizisine, Peter Scholze ve Caucher Birkar’ın ardından Akshay Venkatesh ile devam edelim.

1981 yılında Hindistan’ın başkenti Yeni Delhi’de orta sınıf bir Hindu Tamil Brahmin ailesinde dünyaya gelen Venkatesh’in yaşamı, iki yaşından itibaren Batı Avusturalya’nın Perth şehrinde sürmüştür. İskoç Koleji’nde eğitim alan Venkatesh, bu yıllarda yetenekli öğrenciler için oluşturulan müfredat dışı sınıflarda, ulusal olimpiyat programlarına hazırlanmıştır.

On bir yaşında katıldığı, Virginia’da düzenlenen 24. Uluslarlarası Fizik Olimipiyatları’nda bronz madalya kazanmıştır. Sonraki yıl ilgisi matematiğe kayan Venkatesh, 6. Asya Pasifik Matematik Olimpiyatları’nda gümüş madalya elde etmiştir ve aynı yıl Hong Kong’da düzenlenen Uluslarlararası Matematik Olimpiyatları’nda bronz madalya kazanmıştır. Bu başarısıyla J.A. Woods anısına verilen ödüle layık görülmüştür.

Sadece on üç yaşında lise eğitimini tamamlayan Venkatesh, Batı Avusturalya Üniversitesi’ne en erken başlayan öğrenci olmuştur. Üç yıl sonra teorik matematik lisans derecesini birincilikle elde ettikten sonra, doğrudan Princeton Üniversitesi’nde doktora programına kabul almıştır. 2002 yılında, “Limiting forms of the trace formula” isimli doktora tezini Peter Sarnak’ın danışmanlığında tamamlamıştır. Lisansüstü çalışmaları Hackett bursu tarafından desteklenmiştir. Sonrasında, MIT’de C.L.E. Moore eğitmeni kadrosunda doktora sonrası pozisyonu elde eden Venkatesh, 2004-2006 yılları arasında da Clay Matematik Enstitüsü tarafından verilen Clay araştırma bursunu kazanmıştır. Ardından, New York Üniversitesi’nin Courant Matematiksel Bilimler Enstitüsü’nde doçentlik yapmıştır. 2005-2006 yılları arasında İleri Çalışmalar Enstitüsünde (IAS) çalışan Venkatesh, 2008’de Stanford Üniversitesi’nde profesörlük unvanını almıştır. 2017-2018 yılları arasında IAS’ta ziyaretçi profesörlük yaptıktan sonra, dört gün önce bu kuruma kalıcı olarak dönüş yapmıştır.

Bu zaman diliminde Venkatesh matematiğin bir çok prestijli ödülünü kazanmıştır. 2007’de Salem ödülüne layık görüldükten sonra, 2008 yılında Ramanujan ödülünü elde etmiştir. 2010 yılında Haydarabad’da düzenlenen 26. Uluslarlarası Matematikçiler Kongresi’nde davetli konuşmacı olarak yer almıştır. 2016 yılında Infosys ödülünü kazanan Venkatesh, 2017 yılında Ostrowski ödülünü almıştır.

Son olarak Fields madalyasını kazanan Venkatesh, Terrence Tao’dan sonra bu ödülü kazanan ikinci Avusturalyalı matematikçi ve Manjul Bhargava’dan sonra bu onura nail olan ikinci Hint kökenli matematikçi olmuştur. Bu ödüle en genel olarak, analitik sayılar kuramı, türdeş dinamikler (homogeneous dynamics), topoloji ve temsiller kuramını birlikte sentezlediği için layık görülmüştür.

Venkatesh’in ve alandaşlarının çalışmaları sonuç bazında sayılar kuramına ait olsa da ortaya çıkma sürecinde diğer kuramları ciddi bir biçimde kullanmaktadırlar. Bu nedenle Venkatesh’in ve alandaşlarının matematik külliyatı çok geniştir. Şimdi Venkatesh'in çalışmalarını üç ana başlıkta tanıtmaya çalışalım.

İlk olarak sayılar kuramının en eski problemlerinden biri ile başlayalım. İkinci dereceden bir denklemi ifade eden x²+xy+7y²+yz+12z² polinomunu ele alalım. Temel soru hangi tamsayıların bu karesel ifadeler yardımıyla üretilebildiğidir. 1770’de, Joseph-Louis Lagrange tarafından kanıtlanan bir teoremin sonucu olarak biliyoruz ki, x² ifadesi sadece tam kareler üretirken w²+x²+y²+z² ifadesi tüm pozitif tamsayıları üretir.

Carl Friedrich Gauss, 1801 yılında yayımlanan muazzam eseri Disquisitiones Arithmeticae’da, değişken değiştirme yöntemleriyle bir karesel ifadenin başka bir karesel ifadeye nasıl dönüşeceğini göstermiştir. Bu tip dönüştürmeler karesel ifadeleri çok basit hale getirme olanağı yaratmıştır. Verilen m ve n tamsayıları için, m≥n eşitsizliğini varsayalım. Eğer m değişkenli bir P karesel ifadeyi, bir n değişkenli Q karesel ifadeye dönüştürebiliyorsak P, Q’yu temsil ediyor diyelim. Bu noktada ortaya çıkan doğal soru hangi karesel ifadelerin başka bir karesel ifadeler tarafından temsil edildikleridir. Bu soru, David Hilbert’in 1900 yılında yayımlanan meşhur problemler listesindeki 11. sorunun başka bir şekilde ifade edilmesinden ibarettir. 1978 yılında,  John S. Hsia, Yoshiyuki Kitaoka, and Martin Kneser göstermiştir ki eğer m≥2n+3 ise P, Q’yu temsil eder.

Sonraki 30 yıl boyunca bu problemde neredeyse hiçbir ilerleme kaydedilememiştir. Üstelik bu zaman diliminde diğer matematikçiler, en iyi ihtimalle m≥2n+2 eşitsizliğinin sağlanacağını düşünmüşlerdir. 2008 yılında, Venkatesh ve çalışma arkadaşı Jordan Ellenberg, m ve n tamsayılarının düşünüldüğünden çok daha yakın olduğunu kanıtlamıştır: m≥n+5 ise P, Q’yu temsil eder. 

Daha da şaşırtıcı olan ise kanıt yöntemleri olmuştur. Sayılar kuramına ait bu problemin kanıtında, dinamik sistemler kuramının araçlarından yararlanmışlardır. İlk etapta bu probleme kafes kavramıyla yaklamışlardır. Kafes, s-boyutlu bir Öklid uzayı Rˢ’de, Zˢ ile cebirsel olarak eş olan bir toplamsal altgruptur. Özünde geometrik bir nesne olan kafeslerin sayılar kuramında kullanışları uzun bir geçmişe sahiptir ve ondokuzuncu yüzyılın sonlarında matematiğe ciddi katkılarda bulanan Hermann Minkowski’nin çalışmalarında etkili olarak kullanılmıştır. Kafesler ayrıca dinamik sistemlerin de temel araçlarından biri olagelmiştir. Kum tanelerinin meltemde bir yerden diğerine akışı gibi, kafes noktalarını sistemin etkisi altında zamana göre yer değiştiriyor gibi düşünebiliriz.

1990’lı yılların başında Marina Ratner’in sunduğu kanıtlar sayesinde dinamik sistemler kuramı, kafes noktalarının akışına dair derin bir anlayışa sahip olmuştur. Ellenberg ve Venkatesh, Ratner’in önemli bir teoreminin bir çeşidi olan ve kafes dinamiklerini karesel ifadelerin temsil problemine uygulanabilir kılan bir teoremi kanıtlamışlardır. Sayılar kuramını derinden sarsan bu teorem, dinamik sistemle ilgilenen araştırmacılar arasında da heyecanla karşılanmıştır.

Karesel ifadelerin temsili ile ilgili önemli sonuçların yer aldığı makalenin ön baskısı Venkatesh tarafından 2005’te yapılmıştır. 2010’da dergide yayımlanmıştır ve sonrasında Philippe Michel’in çalışmalarıyla genişletilmiştir. Ayrıca bu makalede Ventakesh, daha teknik bir soru olarak bilinen alt dışbükeylik (subconvexity) probleminedair dinamik sistemler kuramına yaslanan bir yaklaşım geliştirmiştir.

İkinci olarak, yine sayılar kuramında sürpriz gelişmeler kaydeden Venkatesh, bu sefer topolojinin araçlarını kullanmıştır. (Topoloji en genel olarak şekillerin temel özelliklerini çalışan bir matematik dalıdır.) Tamsayıların temel özelliği çarpanlarına ayrılabilmeleridir: her tamsayı tek bir biçimde asal sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir. Tam sayılar, halka olarak bilinen ve bir boştan farklı küme üzerinde birbiriyle ilişkili toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine sahip bir cebirsel yapı oluşturur. Halkalar, genellikle R sembolü ile gösterilirler. Verilen a ve b tamsayıları için R,  formundaki sayıların halka yapısını göstersin. R tamsayılarda çözülemeyen x²=-5 gibi denklemlerin çözümünü içerir, fakat R tek türlü çarpanlara ayrılabilme özelliğinden yoksundur. Örneğin R’de 9 sayısı 3 x 3 veya ( ) x ( ) şeklinde iki türlü çarpanlarına ayrılabilir. Bir halkanın sınıf (class) sayısı, bir halkanın çarpanlarına ayrılabilme özelliğine ne kadar uzak olduğunu ölçen bir tamsayıdır. Sınıf sayıları, sayılar kuramının her yerinde ortaya çıkmaktadır ve tüm halkalar koleksiyonu için nasıl davrandıklarının gizemi henüz aydınlatılamamıştır.

İlk bakışta, sınıf sayılarının tam sayılar içinde rasgele dağıldığı beklense de, 1984 yılında Henri Cohen ve Hendrik Lenstra, beklenmeyen bulgusal sonuçlar ortaya koymuştur. Örneğin, bu sayıların üçte biri 3 sayısı tarafından bölünmektedir. Bu çalışmalar sonucu oranın yaklaşık olarak %43 olduğu tahmin edilmektedir.

Bu bulgusal sonuç otuz yıl boyunca gizemini sürdürmüştür. 2016 yılında Venkatesh ve çalışma arkadaşları Jordan Ellenberg and Craig Westerland büyük bir yenilik ile probleme yaklaşmışlardır. Sınıf sayılarının tam sayılar arasında dağılım problemine yakın bir problem olan fonksiyon cisimlerinin sınıf sayılarının dağılım problemine odaklanarak, Cohen ve Lenstra’nın bulgusunu anlama yolunda büyük bir ilerleme kaydetmişlerdir. Stratejilerine problemi topolojiyetaşımakla başlamıştır.

Bir fonksiyon cismi K=Q(z)(w), z bilinmeyenli rasyonel fonksyonlar cismi Q(z)’nin sonlu bir cisim genişlemesidir. Matematikte fonksiyon cisimlerinin topoloji ile ilintisi uzun zamandır bilinen bir gerçek olagelmiştir fakat probleme uygun topolojik araçları belirlemek ve uygulamak çoğu zaman derin bir soyutlama ve onların arasındaki ilişkilerin keşfini gerektirmiştir. Venkatesh ve çalışma arkadaşları modern bir topolojik araç olan homolojik kararlılık (stability) kavramını kendi çalışmalarına uyarlamışlardır. Homolojik kararlılık, gruplardan oluşan artan bir zincire karşılık gelen grup homolojilerinin bir müddet sonra sabit kalması demektir. Hurwitz uzaylarının homolojik kararlılığını kanıtlamışlardır ve bu sonucu sayılar kuramına, Cohen ve Lenstra’nın bulgusunun tutarlılığını sağlamak için uygulamışlardır. Yine Venkatesh’in çalışmaları matematiğin iki alanına, sayılar kuramı ve topolojiye aynı anda katkı sunmuştur.

Venkatesh’in çalışmalarının en son örneği henüz tamamlanmamış kimi sanılardan oluşmaktadır. 2017-2018 yılları arasında bu yeni düşünceleri diğer matematikçilerle paylaştığı bir çok seminer ve ders vermiştir. Bu sanılar doğrudan Langlands programı ile ilişkilidir. Langlands programı, matematiğin Büyük Birleşik Kuramı olarak nitelenmektedir. Bu program son derece derin ve geniş kapsamlı belli matematiksel sanılar ağının bütünüdür ve Kanadalı matematikçi, 2018 yılı Abel Ödülü sahibi, Robert Langlands tarafından 1967 yılında öne sürülmüştür. Langlands programı henüz tamamlanmaktan çok uzak olsa da, içerisinde kimi önemli yollar katedilmiştir. Bunlardan en çok bilineni, 1990’lı yıllarda Taniyama-Shimura Sanısı'nın ispatı sonucu elde edilen Fermat’ın Son Teoremi’nin kanıtıdır. Kanıt İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından diğer bir İngiliz matematikçi (ve öğrencisi) Richard Taylor’un yardımı ile yapılmıştır.

Wiles ve Taylor’un yöntemi geometrik nesneler olan eliptik eğriler ile analitik nesneler olan modüler formlar arasındaki ilişkiyi deşifre etmiştir. Bu ilişki tam olarak Langlands Programı tarafından öngörülen bir ilişki türüdür. Wiles ve Taylor’ın yöntemi özünde özel bir geometrik nesne olan Shimura çeşitlilikleri için geliştirilmiştir. Venkatesh’in en yeni çalışmaları bu metodu Shimura olmayan çeşitliliklere genellemiştir.

Bu çalışmanın merkezinde yerel simetrik uzaylar olarak bilinen topolojik nesneler yer almaktadır. Venkatesh ve çalışma arkadaşları bu uzayların topolojisini tarif etmişlerdir ve topolojilerinin beklenmeyen simetriler barındırdığını göstermişlerdir. Bu simetriler yerel simetrik uzayların homoloji gruplarında ortaya çıkmaktadır. (Homoloji grubu, topolojik uzayların deliklerinin sayısı yardımıyla tanımlanan cebirsel bir nesnedir.) Venkatesh bu simetrileri anlamak için yeni bir yöntem ortaya koymuştur ve bu yöntemde motifsel (motivic) kohomolojiden yararlanmıştır. Bu yeni yöntemin felsefesi Wiles ve Taylor’ın yönteminin genelleştirilmiş bir haline yaslanmaktadır. Bu çalışmalar henüz tamamlanmaktan çok uzakta olsa da bu alanda yapılacak ilerlemelerin Langlands Programı’nı doğrudan geliştireceği tahmin edilmektedir.

Matematiğin uçsuz bucaksız dünyasına katkı sunmak için çabalayan çoğu matematikçi ya problem çözmekle ya da kuram geliştirmekle meşguldür. Akshay Venkatesh her ikisini birden aynı anda yapabilen nadir matematikçilerdendir. Henüz 36 yaşında olan Venkatesh'in engin bilgisiyle ve derin soyutlama yeteneğiyle matematiği sarsan kanıtlar sunmaya devam edeceğine inanıyoruz.

 

Kaynaklar:

The Work of Akshay Venkatesh by Allyn Jackson:
https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/venkatesh-fin...
(Not: Yukarıdaki yazının matematiksel kısmı büyük ölçüde bu kaynağın derlenerek ve sadeleştirilerek çevirilişinden ibarettir.)
https://en.wikipedia.org/wiki/Akshay_Venkatesh
https://vimeo.com/281859310
https://www.quantamagazine.org/fields-medalist-akshay-venkatesh-bridges-...
http://www.actforlibraries.org/biography-akshay-venkatesh/
http://cacs.usc.edu/papers/IPDPS-final0.pdf

İlgili Bağlantı: http://haber.sol.org.tr/bilim/2018de-fields-madalyasi-alan-dort-isimden-biri-akshay-venkatesh-245099